[wpoms.]

Олимпиада в Перу

ONEM 2012 - Третий этап - Первый уровень


Tercera Fase - Nivel 1
Условия на испанском

1. Дистрибьютор, постоянно путешествующий по стране, работает по такому графику: он работает четыре дня после чего два дня отдыхает, потом снова работает четыре дня после чего два дня отдыхает и т.д. В прошлом году он отдыхал 1 и 2 января. Сколько дней отдыхал дистрибьютор в прошлом году?

2. Дон Аварон продает мешки с рисом и сахаром по 10 кг каждый, однако на самом деле каждый мешок весит лишь 9,60 килограмма. Однажды торговец купил у него 7 мешков риса и несколько мешков сахара, добравшись до своего магазина и взвесив купленный товар торговец с удивлением обнаружил, что товар весит на 6 килограммов меньше положенного. Сколько мешков сахара купил торговец?

3. В начале встречи, когда пятая часть всех людей стояла, четверть от общего числа стульев были свободны. После того, как все сели на стулья, осталось три незанятых стула. Сколько человек присутствовало на встрече?

4. На рисунке изображен четырехугольник `ABCD`, разделенный на шесть треугольников (их основания находятся на диагонали `AC`). Площади четырех треугольников указаны на рисунке.

Чему равна, в кв. см., площадь четырехугольника `ABCD`?

5. Один пакетик чая можно использовать для приготовления 2 или 3 чашек чая. Роксана и Сара купили упаковку чайных пакетиков и разделили пакетики поровну. Оказалось, что Роксана приготовила 57 чашек чая из всех своих пакетиков, в то время как Сара приготовила 83 чашки чая из своих пакетиков. Сколько пакетиков чая было в упаковке?

6. В примере на сложение (он изображен на рисунке) каждый символ обозначает цифру и все цифры от 1 до 9 используются ровно один раз. Какую цифру обозначает символ `Delta`?

7. Все натуральные числа записывают по спирали, так как это показано на рисунке:

Например, над числом 1 написано число 8, над 7 написано 22. Если мы продолжим записывать числа и дальше, то какое число будет расположено над числом 2012?

8. У меня есть 9 шаров, помеченных числами от 1 до 9. Я хочу покрасить шары в красный или синий цвет, так чтобы выполнялись следующие условия:
■ Если два шара помечены различными числами `a` и `b`, шар, помеченный числом `b`, покрашен в красный цвет и `a + b <10`, то шар помеченный числом `a + b` должен быть покрашен в красный цвет.
■ Если два шара помечены различными числами `a` и `b`, шар, помеченный числом `b`, покрашен в синий цвет и `a + b <10`, то шар помеченный числом `a + b` должен быть покрашен в синий цвет.
Сколькими способами можно покрасить шары, если по крайней мере один шар должен быть окрашен в каждый цвет?

9. Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. `C` - множество всех больших единицы делителей числа `8775`. Рассмотрим `k` последовательных натуральных чисел, каждое из которых взаимно просто с некоторым элементом множества `C`. Найдите наибольшее возможное значение числа `k`.

10. Сколькими способами можно закрасить 4 клетки доски размером `4 times 4`, если каждый ее фрагмент размером `2 times 2` должен содержать, по крайней мере, одну закрашенную клетку?

Продолжительность - 2 часа

---

Задания и ответы ONEM 2012

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[All_ex]

Спасибо

[Дилетант]

7. Все натуральные числа записывают по спирали, так как это показано на рисунке:

Теперь я знаю, что это скатерть Улама )
www.ega-math.narod.ru/Quant/Primes1.htm
Даже посмотрела на ней, что за число стоит над 2012... Но забыла уже. Кажется, 1837.

[All_ex]

Дилетант, Теперь я знаю, что это скатерть Улама ) -

Спасибо

Теперь я тоже знаю...