Добрый вечер.
Такое задание:
Дана квадратичная форма, которую нужно привести к каноническому виду и выписать базис, в котором квадратичная форма приведена к этому виду, считая, что исходная форма записана в стандартном базисе.
`Q(x)=x_1^2+2*x_2^2+2*x_3^2+2*x_1*x_2+2*x_1*x_3+4*x_2*x_3=(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2+x_3)^2=y_1^2+y_2^2`
Ну, во-первых, эта форма вроде вырожденной оказалась. Я это понимаю только на уровне того, что было три координаты: `x_1,x_2,x_3`, а после замены осталось две: `y_1,y_2`.
А как это более содержательно объяснить???
У нас есть координаты вектора в стандартном базисе: `x_1,x_2,x_3`. Мы эти координаты заменяем на другие: `y_1,y_2` уже в другом базисе, а вектор тот же должен остаться...так? И про этот самый другой базис и спрашивается?
И у меня получилось, что координаты в новом базисе выражаются через координаты старого базиса так:
`y_1=x_1+x_2+x_3`
`y_2=x_2+x_3`
Переход от координат в старом базисе к координатам в новом осуществляется с помощью матрицы `(А^-1)^Т`. Где А - это матрица перехода от старого базиса к новому. Эту матрицу нужно найти или нет?
Заранее спасибо за помощь!
Такое задание:
Дана квадратичная форма, которую нужно привести к каноническому виду и выписать базис, в котором квадратичная форма приведена к этому виду, считая, что исходная форма записана в стандартном базисе.
`Q(x)=x_1^2+2*x_2^2+2*x_3^2+2*x_1*x_2+2*x_1*x_3+4*x_2*x_3=(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2+x_3)^2=y_1^2+y_2^2`
Ну, во-первых, эта форма вроде вырожденной оказалась. Я это понимаю только на уровне того, что было три координаты: `x_1,x_2,x_3`, а после замены осталось две: `y_1,y_2`.
А как это более содержательно объяснить???
У нас есть координаты вектора в стандартном базисе: `x_1,x_2,x_3`. Мы эти координаты заменяем на другие: `y_1,y_2` уже в другом базисе, а вектор тот же должен остаться...так? И про этот самый другой базис и спрашивается? И у меня получилось, что координаты в новом базисе выражаются через координаты старого базиса так:
`y_1=x_1+x_2+x_3`
`y_2=x_2+x_3`
Переход от координат в старом базисе к координатам в новом осуществляется с помощью матрицы `(А^-1)^Т`. Где А - это матрица перехода от старого базиса к новому. Эту матрицу нужно найти или нет?
Заранее спасибо за помощь!
-
-
10.03.2013 в 22:02Третью координату можете выдрать сами, независящей с первыми двумя...
Правда, новая система у Вас получается не ортогональной...
-
-
10.03.2013 в 22:06А почему третья координата должна быть ЛНЗ с первыми двумя?
-
-
10.03.2013 в 22:12А почему третья координата должна быть ЛНЗ с первыми двумя? - поскольку векторы базиса не могут быть линейно зависимыми...
-
-
10.03.2013 в 22:21`y_1=x_1+x_2+x_3`
`y_2=x_2+x_3`
`y_3=x_3`?
Но ведь тут координаты `y_1,y_2,y_3` ЛНЗ, а не векторы в базисе...Или не про то пишу?
И почему все-таки эта квадратичная форма вырожденная?
-
-
10.03.2013 в 22:24И почему все-таки эта квадратичная форма вырожденная? - Что Вы понимаете под словом вырожденная?...
-
-
10.03.2013 в 22:31Что Вы понимаете под словом вырожденная? - в учебнике так написано: если ранг матрицы квадратичной формы равен размерности пространства L, то форма называется вырожденной, в противном случае - вырожденной.
-
-
10.03.2013 в 22:41Теперь понятно почему нужна ЛНЗ?...
в учебнике так написано: если ранг матрицы квадратичной формы равен размерности пространства L, то форма называется вырожденной, в противном случае - вырожденной.
Ну, допустим...
И почему все-таки эта квадратичная форма вырожденная? - Ну, проверьте Ваше определение... достаточно для матрицы квадратичной формы вычислить определитель...
-
-
10.03.2013 в 23:05Проблема в том, что у меня в этой системе координаты, а не векторы. И я не понимаю как их в такой ситуации связать с базисом.
Ну да по определению понятно, но ведь это по идее видно и из того, что количество координат уменьшилось. Хотя наверное там можно продолжить `0*y^3`. Да? Почему ноль перед координатой появляется, если форма вырожденная?
-
-
10.03.2013 в 23:20Точка `A(x,y,z)` определяется радиус-вектором `vec(OA) = (x,y,z)`, который раскладывается по базису `vec(OA) = x*vec(i) + y*vec(j) + z*vec(k)`...
Хотя наверное там можно продолжить `0*y^3`. Да? Почему ноль перед координатой появляется, если форма вырожденная? - Вы знаете как выглядит матрица квадратичной формы в каноническом виде?... проверьте для неё определение....
-
-
10.03.2013 в 23:26Векторы i,j,k должны быть ЛНЗ.
Где в системе
`y_1=x_1+x_2+x_3`
`y_2=x_2+x_3`
`y_3=x_3` векторы i,j,k?
-
-
10.03.2013 в 23:29-
-
10.03.2013 в 23:32-
-
10.03.2013 в 23:46- это матрица преобразования координат, которая получилась как обратная к матрице перехода от базиса `е` к базису `f’? Где `е` это базис, в котором `vec(x)` записан
Соответственно она и должна быть невырожденной…я правильно поняла?
-
-
10.03.2013 в 23:57-
-
11.03.2013 в 00:08что `T^-1=((1,1,1),(0,1,1),(0,0,1))`
-
-
11.03.2013 в 00:10-
-
11.03.2013 в 00:26-
-
11.03.2013 в 00:33-
-
11.03.2013 в 00:40-
-
11.03.2013 в 00:51А координаты в новом базисе это: `y_1,y_2,y_3`.
-
-
11.03.2013 в 00:57-
-
11.03.2013 в 01:06-
-
11.03.2013 в 05:41