[anna_sofia4652]

Здравствуйте!
1. Условие задачи:
Найдите все простые числа p, при которых 2p+1 и 4p+1 также являются простыми
К этой задаче есть решение (пример 11):

Но в этом решении никак не понимаю, почему берём числа именно p, p+1, p+2 и рассматриваем их делимость на 3?
Помогите, пожалуйста, разобраться в решении задачи!

2. При каких целых n число (n-5)(n+4)/4 + 2 является простым?
Написала свои рассуждения, как продолжить решение - не знаю, очень прошу помочь

@темы: Теория чисел

Comments

[к.черный]

2) `n^2-n-12=(n-4)(n+3)`, отсюда `n>4`
Ну, и когда простое число равно произведению двух чисел?

[anna_sofia4652]

Когда одно из них равно единице?

[к.черный]

угу

[anna_sofia4652]

Значит единственное значение n=5?

[к.черный]

Значит единственное значение n=5?

есть еще

[anna_sofia4652]

к.черный, нашла ещё одно: n=-4, путём решения неравенства, получила множество значения n, но, скажите, пожалуйста, как доказать, что другие значения n не подходят?

[Гость]

Можно рассмотреть возможности. Один из множителей кратен 4, другой равен `+- 1`. Других вариантов нет.

[к.черный]

нашла ещё одно: n=-4

ну, не знаю. Простое число - натуральное, сл-но, положительное.
Поэтому и условие `n>4`. Т.к. в этом случае `n+3>1` и `(n+3)/4>1`,
то `n-4=1` или `(n-4)/4=1` . Получаем, проверяем.

И надо еще проверить `(n-4)/2*(n+3)/2`, но здесь все просто

[anna_sofia4652]

к.черный, по условию число n должно быть целым, а вот (n-5)(n+4)/4 + 2 - простым. Если подставить n=-4, получается 2 - подходит.

[к.черный]

да, согласна, `n>4` или `n<-3`

[anna_sofia4652]

к.черный, скажите, пожалуйста, как мне доказать, что подходят только n=-4 и n=5?

[к.черный]

anna_sofia4652, перебором случаев.

Можно рассмотреть возможности.

`n-4=+-1`
`(n-4)/4=+-1`
`n+3=+-1`
`(n+3)/4=+-1`

Других вариантов нет.

как мне доказать, что подходят только n=-4 и n=5?
рассмотрев все варианты, вы увидите, что подходят не только эти эн

[anna_sofia4652]

к.черный, спасибо, теперь поняла! Вы ни могли бы немножко помочь мне разобраться в первой задаче?

[Adjirranirr]

Но в этом решении никак не понимаю, почему берём числа именно p, p+1, p+2 и рассматриваем их делимость на 3?

Мы рассматриваем остатки от деления `p` на `3`
Если остаток нулевой, то `p = 3`
Если остаток — единица, то `2p + 1` делится на `3`, и, так как оно простое, должно быть равно `3`.
Если остаток — `2`, то `4p + 1` делится на `3`, и должно быть равно `3`.
Последние 2 случая невозможны, следовательно, единственное решение — `p = 3`

[anna_sofia4652]

Adjirranirr, скажите, пожалуйста, почему рассматриваем делимость именно на 3? Почему именно p?

[Гость]

Можно рассмотреть и иной путь решения

1. Проверить истинность утверждения для p=2, p=3.
2. Простые числа, большие трех, имеют вид `6k+-1` (почему?). Остается проверить, могут ли числа вида `6k+-1` быть решениями.