предел

[KARMELITAMARONE]

вычислить предел по правилу Лопиталя


`lim_(x->0)(1/(x*x)-ctg(x)*ctg(x))`
Вольфрам показывать 2/3. В лоб считаю по правилу Лопиталя. Сначала представила котангенс как косинус на синус, потом к общему знаменателю, а далее два раза правило Лопиталя. Очень громозко получается и ответ не выходит...

@темы: Пределы

Comments

[KARMELITAMARONE]

одна из попыток...

[~ghost]

Доброго времени)
KARMELITAMARONE, а раскладывать по Тейлору - можно? если да, то, может, сделать так:
`(ctg x)^2 = 1/(sin x)^2 - 1`, поэтому `lim_{x->0} (1/x^2 -1/(sin x)^2 +1) = lim_{x->0} ( ((sin x)^2 - x^2 )/(x^2*(sin x)^2) + 1)` —
и найти `lim_{x->0} ( (sin x)^2 - x^2 )/(x^2*(sin x)^2)` раскладывая `(sin x)^2` (там вроде `(-1/3)` и получится, т.е. `(-1/3 +1) = 2/3`)

[All_ex]

~ghost, дык, вроде, лопиталить требуют...

[~ghost]

да я потому и спрашиваю, можно ли как-то иначе.. а то правда громоздкие какие-то производные получаются.. (по Тейлору здесь вроде же несложно.. а с правилом Лопиталя я тоже пока не "выкрутилась"..)

[All_ex]

Можно, конечно, схитрить... и не лопиталить много раз в лоб (это муторно)...
`1+ lim_{x to 0} (1/(x^2) - 1/{sin^2(x)}) = 1 + lim_{x to 0} {sin(x) - x}/{x^2*sin(x)} * (1 + lim_{x to 0} x/{sin(x)} )`
Во втором пределе стоит замечательный предел... а первый лопиталить намного проще, чем исходный предел...

[KARMELITAMARONE]

Написано,что используя правило Лопиталя вычислить данный предел... то есть Тейлора нельзя.

[All_ex]

Написано,что используя правило Лопиталя вычислить данный предел... - Всё равно надо приводить к неопределённости нужного вида... и не кто не запрещает сделать дополнительные преобразования...

[Epygraph]

Если такие жесткие ограничения (даже синус в знаменателе на эквивалентный ему аргумент заменить нельзя?), то вычисляйте сразу четвертую производную по правилу Лейбница и учтите, что Вам нужны только их значения в нуле (многие слагаемые здесь равны нулю).