Матанализ

[Ukino-kun]

Дело касается поведения графика в критической точке второго порядка.

функция: y = x*√(1-3x)
нужно ее исследовать.

1) d(f) = (-бесконечность; 1/3]
2) Пересечения с осью абцисс в точках х = 1/3, х = 0.
3) Асимптот нет.
4) f'(x) = (2-9x)/(2* √(1-3x)) значит, критические точки: х = 1/3, х = 2/9.
f''(x) = 3(9x-4)/(4*(1-3x)^(3/2)) - подставляем критические точки первого порядка: при х = 2/9 - f''(x) != 0, при х=1/3 f''(x) не существует ->

х =2/9 - точка экстремума
х = 1/3 критическая точка второго порядка.

А приравнивая f''(x) к нулю, находим еще одну точку х = 4/9, но она не входит в d(f) -> не критическая точка.
5) исследуем на монотонность и находим, что Xmax = 2/9,
f(x) возрастает при (-бесконечность ; 2/9)
f(x) убывает при [2/9; 1/3]

график:



Преподаватель сказал, что все верно, но надо указать особенность точки х = 1/3. Это не просто критическая точка второго порядка.
Также преподаватель порекомендовал присмотреться к графику функции.

вот крупнее.


могу предположить, в этой точке график прекращает убывать, но это не точка экстремума.
Кто-нибудь может мне подсказать, что от меня хочет преподаватель?

@темы: Математический анализ

Comments

[Ak-sakal]

У нас с Вами могут быть РАЗНЫЕ определения критической точки. Хотя в общепринятом определении критической точкой является ВНУТРЕННЯЯ точка области определения. А 1\3 внутренней не является.
Преподаватель, скорее всего, пытался обратить Ваше внимание именно на это. И подвигнуть на исследование функции вблизи 1\3. Т.е. к нахождению предела функции и её первой производной в этой точке.