[Драгуняш]

Всем доброго времени суток!
Помогите, пожалуйста, с заданиями на пределы.
Уже 7 из 9 я решил, но не уверен, что 9й правильно.

Задания/Решения

Картинка с заданием

1. `lim_(x -> oo) ((3x^2 + x + 1)/(x^3+2x^2+5))`

Решение

`lim_(x -> oo) ((3x^2 + x + 1)/(x^3+2x^2+5))`=`lim_(x -> oo) (3*(oo^2)+oo+2)/(oo^3+2*(oo^2)+5)=[oo/oo]=lim_(x -> oo) (3x^2/x^3 + x/x^3 + 2/x^3)/(x^3/x^3 + 2x^2/x^3 + 5/x^3) = lim_(x -> oo) (3/x + 1/x^2 + 2/x^3)/(1 + 2/x + 5/x^3) = (3/oo + 1/oo^2 + 2/oo^3)/(1 + 2/oo + 5/oo^3) = 0/1 = 0`

2. `lim_(x -> 3) ((x^2-9)/(x^2-4x+3))`

Решение

`lim_(x -> 3) ((x^2-9)/(x^2-4x+3)) = lim_(x -> 3) ((3^2-9)/(3^2-4*3+3)) = lim_(x -> 3) ((9-9)/(9-12+3)) = [0/0] = lim_(x -> 3) ((x-3)(x+3)/(x-1)(x-3)) = lim_(x -> 3) ((x+3)/(x-1)) = ((3+3)/(3-1)) = 6/2 = 3`

3. `lim_(x -> 0) ((1/sin(x))-(1/tan(x)))`

Начало решения

`lim_(x -> 0) ((1/sin(x))-(1/tan(x))) = lim_(x -> 0) ((1/sin(0))-(1/tan(0))) = ...` на ноль же делить нельзя, но надо как то привести к неопределенности?

4. `lim_(x -> oo) ((5x+7)/(5x-8))^(3x+2)`

5. `lim_(x -> 5) (5-x)/(3-(sqrt(4+x)))`

Начало решения

`lim_(x to 5) ((5-x)/(3-(sqrt(4+x)))) = ((5-5)/(3-(sqrt(4+5)))) = [0/0] = lim_(x to 5) ((5-x)(3+(sqrt(4+x))))/((3 - (sqrt(4+x)))(3+(sqrt(4+x)))) = ...` или не так?

6. `lim_(x -> oo) ((2x^3 + x^2 - 5)/(x^3 + x -2))`

Решение

`lim_(x -> oo) ((2x^3 + x^2 - 5)/(x^3 + x -2))`
если подставлять оо, то получается:
`lim_(x -> oo) ((2x^3 + x^2 - 5)/(x^3 + x -2)) = lim_(x -> oo) ((2(оо^3) + оо^2 - 5)/(оо^3 + оо - 2)) = - 5/ - 2 = 2.5` так? но тогда что дальше?

а если сразу делить на старшую степень:
`lim_(x -> oo) ((2x^3 + x^2 + 5)/(x^3 + x -2)) = lim_(x -> oo) ((2x^3/х^3 + x^2/X^3 + 5/x^3)/(x^3/x^3 + x/x^3 -2/x^3)) = lim_(x -> oo) ((2 + 1/x + 5/x^3)/(1 + 1/x^2 -2/x^3)) = lim_(x -> oo) ((2 + 1/oo + 5/oo^3)/(1 + 1/oo^2 -2/oo^3)) = 2/1 = 1`

7. `lim_(x -> 1) ((x - (sqrt(x)))/(x^2 - x))`

Начало решения

`lim_(x -> 1) ((x - (Sqr(x)))/(x^2 - x)) = lim_(x -> 1) ((1 - (sqrt(1)))/(1^2 - 1)) = [0/0] = ...` c корнями не помню куда и как, но кажется, что можно привести ко второму замечательному, или нет?

8. `lim_(x -> 0) ((sqrt(1-cos^2(x))))/|x|`

9. f(x) = `{(-x\ \ if \ \ x <=0), (-(x-12)^2 \ \ if \ \0 < x < 2), (x + 3 \ \ if \ \ x>=2 ):}`

Решение

x = 0; x = 2

x = 0
подставил (-x\ \ if \ \ x <=0)
`lim y (x -> - 0) = -0 = 0`

подставил (-(x-12)^2 \ \ if \ \0 < x < 2)
`lim y (x -> + 0) (-(0-12)^ 2) = - 144` так может быть?
x = 0 - точка разрыва первого порядка?

x = 2
подставил (x + 3 \ \ if \ \ x>=2 )
`lim y (x -> 2 - 0) = 2 - 3 = - 1`

подставил (-(x-12)^2 \ \ if \ \0 < x < 2)
`lim y (x -> 2 + 0) (-(2-12)^ 2) = - 122` так может быть?
x = 2 - точка разрыва первого порядка?

@темы: Пределы

Comments

[All_ex]

eek.diary.ru/p164249281.htm - обратите внимание на пункт 6... У Вас неправильно отображаются дроби...

1) подстановка бесконечности выглядит странно... а дальше - преобразование верно... и снова подстановка бесконечности... Пользуйтесь в записях тем, что `lim_{x to oo} 1/{x^k} = 0`...

[All_ex]

В 2) - первичная подстановка, приводящая к неопределённости, целиком заключаются а скобки и предел там не пишут... `lim_(x -> 3) ((x^2-9)/(x^2-4x+3)) = [ ((3^2-9)/(3^2-4*3+3)) = ((9-9)/(9-12+3)) = 0/0] = ...` .. а дальше верно (если исправить набор дробей)...

В 3) у Вас разность написана... почему в решении - отношение?... приводите к общему знаменателю и пользуйтесь эквивалентными функциями...

[All_ex]

В 4) степень надо заключить в скобки...
В решении выделяйте второй замечательный предел...

В 5) правильно наберите корень квадратный `sqrt()`... и уберите лишний апостроф в середине формулы ... (посмотрите в справочнике пункт 8)...
Умножать на сопряжённое можно... доказывайте, что получится дальше...

[All_ex]

В 6) - Что за чудеса?... это пример такой же как 1...
Второй вариант верный... только `2/1 = 2`...

[All_ex]

7) такой же как в 5)... умножайте на сопряжённое...

[All_ex]

8) после простого преобразования в чистом виде первый замечательный предел ...

В 9) - странно набранное условие исправьте, пожалуйста...

[Драгуняш]

6) - исправил плюс 5 на минус, моя опечатка, хотя решал с учетом минуса.

1) - нас так учили, вот недавно, чтобы не запутаться.
`lim_{x to oo} 1/{x^k} = 0`...
Не совсем понял чем пользоваться.
А решено правильно, если не учитывать не очень красивую запись?

2) - а, да, это учту, забываю, что предел не нужен в подстановке. А что с набором дробей не так?
Значит ответ правильный?

3) - блин, тоже косяк с переписыванием. Спасибо за совет.

4) - я тоже думал второй, но все таки не очень понял, что там нужно добавить.

5) - поправил везде этот корень.

[All_ex]

Ну давайте по порядку...
А что с набором дробей не так? - прочитайте пункт 6 в справочнике... ссылка в первом комментарии... Это же касается составных показателей степени (№4) ...
И вообще - установите себе скрипт... тогда увидите результат своего набора...

[Драгуняш]

В 6) - Что за чудеса?... это пример такой же как 1...

В смысле?
Просто там же по идее сначала нужно привести к неопределенности, а она вот не получается почему то.
`2/1 = 2`...
А, да, это уже называется глюки.)

7) такой же как в 5)... умножайте на сопряжённое...

То есть на `x + sqrt(x)`?

8) после простого преобразования в чистом виде первый замечательный предел ...
Но я не знаю, что делать с модулем. Решать как два предела? С плюсом и минус отдельно?

9) я не знаю как правильно набрать, чтобы там было через запятую и напротив каждого уравнения свое условие.

[All_ex]

№1 `(3/oo + 1/oo^2 + 2/oo^3)/(1 + 2/oo + 5/oo^3) ` - Вот эта запись мне не нравиться...
Правильнее так `= lim_(x -> oo) (3/x + 1/x^2 + 2/x^3)/(1 + 2/x + 5/x^3) = { lim_(x -> oo) 3/x + lim_(x -> oo) 1/x^2 + lim_(x -> oo) 2/x^3}/{ lim_(x -> oo) 1 + lim_(x -> oo) 2/x + lim_(x -> oo) 5/x^3} = (3*0 + 0 + 2*0)/(1 + 2*0 + 5*0) = 0/1 = 0`

[Драгуняш]

Это же касается составных показателей степени (№4) ...

Это поправил, хорошо.

[All_ex]

В №6 неопределённость уже есть...

7) такой же как в 5)... умножайте на сопряжённое...
То есть на `x + sqrt(x)`? - Да... хотя можно и на множители пораскладывать исходное выражение... там просто всё...

[Драгуняш]

№1 `(3/oo + 1/oo^2 + 2/oo^3)/(1 + 2/oo + 5/oo^3) ` - Вот эта запись мне не нравиться...
Правильнее так `= lim_(x -> oo) (3/x + 1/x^2 + 2/x^3)/(1 + 2/x + 5/x^3) = { lim_(x -> oo) 3/x + lim_(x -> oo) 1/x^2 + lim_(x -> oo) 2/x^3}/{ lim_(x -> oo) 1 + lim_(x -> oo) 2/x + lim_(x -> oo) 5/x^3} = (3*0 + 0 + 2*0)/(1 + 2*0 + 5*0) = 0/1 = 0`

А, хорошо, понял, спасибо, с оформлением у меня не очень.

[All_ex]

№4... Преобразуйте основание: `1+ [(5x+7)/(5x-8) -1] = ...`... потом выделите нужный показатель степени...

[All_ex]

Поправьте набор задания №9...

[Драгуняш]

Поправьте набор задания №9...

9) я не знаю как правильно набрать, чтобы там было через запятую и напротив каждого уравнения свое условие.

[All_ex]

`f(x) = {(function \ \ if \ \ condition),(function \ \ if \ \ condition):}` или вместо `if` между функцией и условием ставьте точку с запятой...

[Драгуняш]

`function \ \ if \ \ condition` или вместо запятой между функцией и условием ставьте точку с запятой...

я просто по аналогии с этим делал, хотя в моем случае не нужны вторые скобки и значок "следовательно"
{(B Delta C = X nn A),(X setminus C = A cap B),(C subseteq A nn B):} => {(X = B),(B subseteq A),(C = emptyset):}

[All_ex]

Там просто пример набора формул с системами... (я немного подправил Вам пример набора функции в предыдущем комментарии)...

[Драгуняш]

В 3 получится:
`lim_(x -> 0) ((1/sin(x))-(1/tan(x))) = lim_(x -> 0) ((1/sin(x))-(sin(x)/cos(x))) = lim_(x -> 0) (cos(x)-sin(x)*sin(x)/sin(x))`а дальше?

[All_ex]

неправильно... `1/{tg(x)} = {cos(x)}/{sin(x)}`...

ЧИСЛИТЕЛЬ И ЗНАМЕНАТЕЛЬ НАДО ЗАКЛЮЧАТЬ В СКОБКИ!!!

[All_ex]

И я пишу последнее уравнение в системе 9го - но оно пропадает. - такое бывает... отделяйте знаки неравенства пробелами...

[Драгуняш]

`lim_(x -> 0) ((1/sin(x))-(1/tan(x))) = lim_(x -> 0) ((1/sin(x))-((sin(x))/(cos(x)))) = lim_(x -> 0) ((cos(x))-(sin(x))*(sin(x))/(sin(x)))
Вот скобки, правда кажется их теперь слишком много.

[All_ex]

Исправил Вам в топике №9... посмотрите правильно или нет...

В №3... Вы не правильно записали тангенс... точнее неправильно на него поделили...
А лишние скобки не надо ставить...

[Драгуняш]

такое бывает... отделяйте знаки неравенства пробелами...

Ну теперь все нормально?
Но я так и не понял, что делать с третьим, и как расписывать дальше четвертое - можно подсказку?

[All_ex]

что делать с третьим - читайте комментарий 2012-11-25 в 11:51 мск
и как расписывать дальше четвертое - читайте комментарий 2012-11-25 в 10:46 мск

[Драгуняш]

ЧИСЛИТЕЛЬ И ЗНАМЕНАТЕЛЬ НАДО ЗАКЛЮЧАТЬ В СКОБКИ!!!

А лишние скобки не надо ставить...

И что правильнее?

В №3... Вы не правильно записали тангенс... точнее неправильно на него поделили...
А лишние скобки не надо ставить...

А, все, вижу ошибку, значит:
`lim_(x -> 0) ((1/sin(x))-(1/tan(x))) = lim_(x -> 0) ((1/sin(x))-((cos(x))/(sin(x)))) = lim_(x -> 0) (1 - (cos(x)))/(sin(x)) = lim_(x -> 0) (x^2)/(x) = x = 0`
?

[Драгуняш]

№4... Преобразуйте основание: `1+ [(5x+7)/(5x-8) -1] = ...`... потом выделите нужный показатель степени...

Я не могу преобразовать, не доходит, что куда.

[All_ex]

ЧИСЛИТЕЛЬ И ЗНАМЕНАТЕЛЬ НАДО ЗАКЛЮЧАТЬ В СКОБКИ!!!
А лишние скобки не надо ставить...
И что правильнее? - скобка в начале и конце обязательна... а внутри лишние скобки можно убрать... например, зачем брать в скобки синус или косинус?...

У Вас скрипт установлен?... посмотрите Ваш набор - `(1 - (cos(x)))/(sin(x))` и то, что должно быть - `(1 - cos(x) )/(sin(x))`

[All_ex]

К №4...