[yuliya92]

Помогите с решением приделов
1. `lim_(x -> 9)(sqrt(2x+7) + 5)/ (3-sqrt(x))`
2. `lim_(x - > 0)(cos 4x - cos^3 4x)/ (3x^2)`
По первому я пробовала умножить на сопряжённое, но меня сбил с толку корень в знаменателе, и больше вариантов нет, а по второму вообще не понятно..

проверте пожалуйста эти:
1.`lim_{x - > oo} (7x^4-3x+10)/ (3x^4-2x+1)= 7/3`
2.`lim_{x - > 1} (5x^2+4x-1)/ (3x^2+x-2) = 18/25`
3. `lim_{x - > oo} ((4x+3)/(4x-7))^(2x+1) = e^(-4/3)`

@темы: Математический анализ, Пределы

Comments

[_ТошА_]

В первом есть неопределенность?

Во втором добавьте и вычтите единицу в числителе, а затем разбейте предел на сумму двух (они существуют)

[~ghost]

Доброго времени.
А просто подставить `x=...` (подставить то, к чему стремится `x`) в первом Вы пробовали ? =)
Во 2-ом вынесите за скобки (в числ-ле) `cos(4x)` - а там уже увидите "формулу"..)

[~ghost]

Тоша, да во 2-ом там вроде даже косинусы одинаковые..=)) {т.е. аргументы `4x` одинаковые..}

[yuliya92]

в первом получается неопределённость))

[_ТошА_]

~ghost, а, я и не приметил одинаковости

[~ghost]

а я вот не вижу в первом неопределенности =) хуже: даже `x` в знаменателе не вижу =) yuliya92, какая неопределенность в первом? или перепроверьте -условие у Вас точно такое..?)

[yuliya92]

да во втором с числителем понятно, а со знаминателем? да и ну вот вынесла `cos4x` а дальше что остаёться?

[~ghost]

`cos(4x)*(1- (cos(4x))^2) =.. ?` (что в скобках ?)) а потом -замените на эквивалентную функцию..)

[yuliya92]

всё равно не понятно, в знаменателе вынесли cos4x и что дальше, на какую функцию, вообще не понято...

[~ghost]

так.. теперь хотя бы есть `x` в знаменателе в 1-ом примере) и тогда действительно в знаменателе `3-sqrt(9) = 0`
если условие такое, как сейчас: в числителе `sqrt(2x +7) + 5` ( с плюсом), то тогда `(sqrt(25) + 5)/(3-sqrt(9)) = 10/0 =infty` — и это все равно не является неопределенностью..
но скорее всего, там в числителе минус 5. Тогда -да, там `0/0`, и домножение на сопряженное, а точнее на оба сопряженных выражения (в условии - скорее всего - и в числителе, и в знаменателе "минусы", и домножить надо будет на оба выражения с "плюсами" - и на `(sqrt(2x+7) +5)` и на `(3 + sqrt(9))`)

[~ghost]

К комментарию в 01:19.. `1- (cos(alpha))^2` - неужели такую формулу не узнаете ? )

[yuliya92]

числитель и знаменатель домножить на оба выражения?

[yuliya92]

да знаю я такую формулу, но поставив её легче-то не стало.. =)

[~ghost]

К тому, что в 01:31
Да. В каждом случае (и в числ-ле, и в знам-ле) одна пара скобок "свернется" по формуле (`(a-b)*(a+b) = a^2 - b^2`), и еще одна скобка останется (остающаяся скобка будет "с плюсом" - т.е. обращаться в ноль при `x=9` и давать неопределенность она не будет..)

И к тому, что в 01:33
стало: `lim_{x->0} (cos(4x)*(1-(cos(4x))^2))/(3x^2) = lim_{x->0} (cos(4x)*(sin(4x))^2)/(3x^2)` — если знаете, как можно заменять на эквивалентные, то..
как заменить `(sin(4x))^2` ? )

[yuliya92]

у меня в числителе всё равно получается 0, так у меня получилось после всех преобразований `((2x-18)*(3+sqrt(x))) / ((sqrt(2x+7)+5)*(9+x))`

[~ghost]

и в знаменателе тоже ноль - там должно быть `(9 - x)` (с минусом)
`2x - 18 = 2*(x - 9)` - и это уже очень похоже на эти `(9-x)` из знаменателя.. (сделать "еще полшага" - т.е. сделать так, чтобы скобки были не просто "похожими", а одинаковыми - и тогда сократить.. как раз и уйдет ТО, что давало нули (и неопределенность..))

[yuliya92]

можно заменить на `1/2(1-cos8x)`

[~ghost]

Стоп. Что с первым примером ? Ответ получили? (какой?))
А `(1/2)*(1-cos(8x))` - не то..=( т.е. по формулам тригонометрии - верно, но этого здесь просто не нужно.. (так Вы снова 0 в числителе и получите..) Там замена на эквивалентные. Если `x->0`, то `sin(kx)~~... ` - чему ?

[yuliya92]

в первом ответ 9/5?

[yuliya92]

можно заменить на 4х^2?

[~ghost]

`lim_{x->9} (2*(x-9)*(3 + sqrt(x)))/((9-x)*(sqrt(2x + 7) +5)) = lim_{x->9} ( -2*(9-x)*(3 + sqrt(x)))/((9-x)*(sqrt(2x + 7) +5)) = .. ` — теперь сокращаем одинаковые `(9-x)` {но до этого - там вынесли минус..}, и подставляем `x = 9` (ответ вроде `(-6/5)`)
----------------------------------
Во 2-ом - можно заменить: если `x->0`, то `sin(4x)~~4x`, и `(sin(4x))^2 ~~(4x)^2 = 16*x^2`

[yuliya92]

да я в первом забыла вынести минус, спасибо, а во втором заменить на 4x^2? а потом преобразовать в 16*x^2?

[yuliya92]

а потом же 16 и 3 не сократишь.. как быть дальше?

[~ghost]

да, в первом - еще раз (-6/5), а во втором в квадрате же весь синус - значит, будет и `(4x)^2` - всё в квадрате.. (4 тоже возводится..)
А `16/3` и не надо сокращать) и так хороший ответ)

[yuliya92]

так подождите в числителе ещё же остался cos4x или я что-то опять не поняла?

[~ghost]

`lim_{x->0} (cos(4x)*16x^2)/(3x^2) = lim_{x->0} (cos(4x)*(16/3))` дальше просто подставляем `x=0`, т.е. `= cos(0)*16/3`, а `cos(0) = 1`

[yuliya92]

проверте пожалуйста эти:
1.`lim_{x - > oo} (7x^4-3x+10)/ (3x^4-2x+1)= 7/3`
2.`lim_{x - > 1} (5x^2+4x-1)/ (3x^2+x-2) = 18/25`
3. `lim_{x - > oo} ((4x+3)/(4x-7))^ 2x+1 = e^-4/3

[~ghost]

yuliya92, вообще если есть новые задания- пожалуйста, либо создавайте новый топик, либо добавляйте эти задания в верхнюю запись топика (чтобы сами условия мог увидеть кто-нибудь, кто не пролистывал все комментарии внутри топика..)
1-ый из этих пределов - да, верно (предел отношения (многочлен_1)/(многочлен_2) при `x-> infty` — в случае, когда эти 2 многочлена имеют одинаковые старшие степени — будет равен отношению коэффициентов при старших степенях );
два других - не то..=(
2-ой: `lim_{x->1} (5x^2 +4x -1)/(3x^2 +x -2)` — если условие такое, то никакой неопределенности здесь нет - можно подставить и посчитать (но будет не `18/25`);
хотя скорее всего там минусы.. `lim_{x->1} (5x^2 - 4x -1)/(3x^2 - x -2)` — разложите на множители числитель и знаменатель (по формуле: `ax^2 + bx +c = a*(X-x_1)*(X-x_2)`, где `x_1` и `x_2` - корни уравнения `ax^2 + bx + c =0`), должна и в числителе, и в знаменателе "появиться" скобка `(x-1)` - которую сократим.. (и посчитаем то, что останется..)
3-ий: это "второй замечательный предел", и будет = " е в степени" - но степень не такая.. (как Вы делали ?)

P.S. И все-таки, пожалуйста, добавьте эти пределы в верхнюю запись..

[yuliya92]

да во втором получаеться 4, а в третьем я с этой степень так намучалась... ну вотя вывела е и степени получились ( 2/4x-7) *(2x+1)

[~ghost]

Не получилось у меня там нигде `4`... Как Вы делали 2-ое ? Можете привести решение ? (решения можно скидывать и на сканах или фото) или просто напишите.. как разложились числитель и знаменатель..?
И в последнем - когда выделили там 2-й замечательный предел - то степень `e` останется вроде все -таки другая..