Здравствуйте! Есть 12 заданий. Некоторые из них я решил, некоторые пробовал решать, некоторые не знаю, как решать. Важная для меня работа. Прошу помочь в решении и проверить мои решения.
1) Исходя из определения предела последовательности, доказать, что ` lim(n+2)/(n^3+7)=0, n -> oo` не знаю
2) По определению предела доказать, что:` lim_{n->infty} (n - n^2) = -oo` не знаю
3) Доказать, что последовательности сходятся: `x_n = (3^n/(n!))`;
4) Вычислить`lim_{n->infty}(ln(n^3-10*n^2+2)/ln(n^2+5n+n^5))`;
5) Наити все частичные пределы `x_n = 3*(1-1/n) + 2*(-1)^n`;
Вычислить:
6) `lim_{n->infty}(((n+5)^5+(n+6)^5+(n+7)^5)/(n^5+5^5))`;
7) `lim_{n->infty}(n/(ln(3^n) + sin(1/n)))` (использовал, что n~sin(n))
8) `lim_{n->infty}(root(3)(n^3+n^2+1) - root(3)(n^3-n^2+1))`;
10)` lim_{x->1}((x^4-2x+1)/(x^8-2x+1))` (можно сделать как-то легче?)
11)` lim_{x-> infty}(sqrt(x^2-1)-sqrt(x^2+1))`;
12)` lim_{x->0}((tg^2(x))/(sqrt(2) - sqrt(1+cos(x))))` (не уверен в правильности)
13) `lim_{x->0} (cosx+arctg^2(x))^(1/(arctg(x^2)))` (не знаю, как решать вообще)
Мои решения:
1), 2)
3)
4)
5)
6), 7)
8)
9), 10)
11), 12), 13)
Заранее спасибо!
1) Исходя из определения предела последовательности, доказать, что ` lim(n+2)/(n^3+7)=0, n -> oo` не знаю
2) По определению предела доказать, что:` lim_{n->infty} (n - n^2) = -oo` не знаю
3) Доказать, что последовательности сходятся: `x_n = (3^n/(n!))`;
4) Вычислить`lim_{n->infty}(ln(n^3-10*n^2+2)/ln(n^2+5n+n^5))`;
5) Наити все частичные пределы `x_n = 3*(1-1/n) + 2*(-1)^n`;
Вычислить:
6) `lim_{n->infty}(((n+5)^5+(n+6)^5+(n+7)^5)/(n^5+5^5))`;
7) `lim_{n->infty}(n/(ln(3^n) + sin(1/n)))` (использовал, что n~sin(n))
8) `lim_{n->infty}(root(3)(n^3+n^2+1) - root(3)(n^3-n^2+1))`;
10)` lim_{x->1}((x^4-2x+1)/(x^8-2x+1))` (можно сделать как-то легче?)
11)` lim_{x-> infty}(sqrt(x^2-1)-sqrt(x^2+1))`;
12)` lim_{x->0}((tg^2(x))/(sqrt(2) - sqrt(1+cos(x))))` (не уверен в правильности)
13) `lim_{x->0} (cosx+arctg^2(x))^(1/(arctg(x^2)))` (не знаю, как решать вообще)
Мои решения:
1), 2)
3)
4)
5)
6), 7)
8)
9), 10)
11), 12), 13)
Заранее спасибо!
-
-
30.10.2012 в 00:054 - да
5 - да, только поиск инфимума и супремума весьма путанный
6 - да
7 - в сумме на эквивалентные заменять нельзя
(использовал, что n~sin(n)) только при `n -> 0`
8 - первое равенство неверно
9 - нет условия
10 - делить по Горнеру, либо разложить на множители
11 - первое равенство неверно
12 - в числителе ерунда
13 - эквиалентные
-
-
30.10.2012 в 00:17А в 10) правильный ответ? Делить по Горнеру не знаю.
-
-
30.10.2012 в 00:31Ну, скажем, первый.
`|(n+ 2)/(n^3+ 7)| <= |(2n)/(n^2)| = |2/n| < epsilon`
Т.к. `2/n` всегда можно сделать `< epsilon`.
Остальное сами. Думайте
-
-
30.10.2012 в 00:39`2/n2/(epsilon)`
N=[2/(epsilon)]+1 - ответ?
-
-
30.10.2012 в 00:40-
-
30.10.2012 в 00:49-
-
30.10.2012 в 17:19Sunline, в 10-ом — в любом случае там надо выделить множитель `(x -1)` и в числ-ле, и в знам-ле — если не хотите "в лоб" делить, то можете попробовать "поискать" там обычные школьные формулы:
`x^4 - 2x +1 = (x^4 -2x^2 +1) + 2x^2 - 2x = (x^2 -1)^2 + 2x*(x-1) = ...` (и в знаменателе - что-то подобное)
не знаю, насколько это "проще", но все-таки =)
а в 7-ом - там "почти все o'k" (т.е. ответ верный), только в сумме на эквивалентные заменять нельзя (с) - Тоша уже говорил.. И не заменяйте) Так и оставьте: `lim_{n->infty} (1/(ln(3) + (1/n)*sin(1/n)))` - видно же, к чему стремится..=)