[loz09]

Помогите пожалуйста. Является ли отображение инъекцией, сюръекцией и биекцией?
f: [0;1] ->R, f(x)=x^2-x
g: Z^2 ->Z^2, g((m,n)) = (m^2-n^2; m^2+n^2)

Ну с первым все понятно - сюръекция, не инъекция, не биекция. А вот второе, я запуталась, помогите!

@темы: Математический анализ

Comments

[вейко]

1) инъекция( или даже вообще ничего)
2) z-целое?или как

[loz09]

Первое не сюрекция, почему? А второе как определить?

[loz09]

Помогите с решением, пожалуйста. Совсем не получается его решить!

[Дилетант]

loz09, ну, давайте разбираться.
Возьмем для начала первое отображение.
Является ли оно сюръекцией? (Дайте, пожалуйста, определения сразу сюръекции и инъекции, чтобы мы к ним в другие места не обращались). Нужно просто аккуратно проверить выполнение свойств. Если свойство не выполняется, чтобы это показать, достаточно привести контрпример. И всё.

[loz09]

Сюрекция - это когда каждый элемент из У имеет хотя бы один прообраз из Х.
Инъекция - если разные элементы множества X переводятся в разные элементы множества Y.
Биекция - когда выполняется и то и другое.
Я думаю первое отображение сюрекция, каждый элемент из У имеет один или два элемента из Х

[Дилетант]

Я думаю первое отображение сюрекция, каждый элемент из У имеет один или два элемента из Х

Разве?
А например `y=-100`?

[loz09]

А например `y=-100`?

Не имеет ни одного
Но в задании у меня f: [0;1] ->R ( Х от 0 до 1, а У все действительные), так? Тогда это не сюрекция и не инъекция?

[Дилетант]

Тогда это не сюрекция и не инъекция?

Совершенно верно.
Про то, что не инъекция, понятно почему? На [0,1] каждому иксу соответствует два значения игрека. На другом отрезке могло бы быть иначе.

А что со вторым отображением?

[loz09]

Совершенно верно. Про то, что не инъекция, понятно почему? На [0,1] каждому иксу соответствует два значения игрека. На другом отрезке могло бы быть иначе.

Спасибо, это понятно а со вторым отображением, я совсем запуталась. Здесь надо из Z^2 ->Z^2, и график трехмерный, как его решать не знаю

[Дилетант]

График не нужен.
Проверяем точно так же.
У точки, к примеру, (-42, -42) существует прообраз `(m,n)=g^-1(-42, -42)` в `ZZ^2`?

[Дилетант]

А вообще, если m и n целые, то можно даже не заморачиваться с отрицательными числами.
Ну и бонусом, поскольку я сейчас ухожу.

g(2,3)=?
g(-2,-3)=?
Что можно сказать об инъективности?

[loz09]

Возможно второе сюрекция Z^2 - это положительные числа. И здесь каждая точка имеет свой прообраз, и не один поэтому это не инекция, да?

[loz09]

g(2,3)=? g(-2,-3)=? Что можно сказать об инъективности?

Они переходят в одну точку, не инъекция

[Дилетант]

Z^2 - это положительные числа.

Это не положительные числа. Это пары вида (m,n), где m и n - целые.
И где же сюръекция даже если они положительны?
Вы можете найти прообраз в `ZZ^2`для (0, 3)? Или просто для (100, 1), вообще для любой пары, у которой первое число больше второго?

[loz09]

Вы можете найти прообраз в `ZZ^2`для (0, 3)? Или просто для (100, 1), вообще для любой пары, у которой первое число больше второго?

Нет, прообраза не существует. Значит опять не сюрекция не инъекция?

[Дилетант]

Значит опять не сюрекция не инъекция?

да

[loz09]

Как то не логично получается. В обоих заданиях не инъекция не сюрекция и не биекция, зачем давать такое задание? В первом вообще парабола в целом не биекция, но можно было задать другой отрезок где она будет инъекцией (например (1;2])

[Дилетант]

Как то не логично получается.

Но вы же видите, что в рассуждениях нет ошибок?

[loz09]

Но вы же видите, что в рассуждениях нет ошибок?

Да, вижу. Похоже в этом и подвох задания. Спасибо большое за то, что помогли разобраться)

[Дилетант]