Линейные диф.уравнения второго порядка

[Лучик искренности]

Внезапно всплыла необходимость их решать, а я с первых курсов ничего не помню. Конспекты тоже не особенно помогли

Суть в чем: например, есть линейное неоднородное уравнение второго порядка. Примеры решения их у меня есть, но по ходу непонятны некоторые моменты.

Вот я так понимаю: y = y* + y^

у - итог, y* - однородное уравнение, y^ - частное решение.

Вот у меня проблема именно с частными. Непонятны две вещи:

- откуда брать формулу для частного решения? Вот случайный пример: если можно, объясните, откуда взялась формула для частного решения?

- что значит "простой корень" и "кратный корень"?

Если не трудно, объясните на этом примере и подскажите литературу, где про частные решения описано доходчиво. Спасибо.

@темы: Дифференциальные уравнения

Comments

[All_ex]

Любой полином можно разложить на линейные множители в некоторых степенях... `p(x) = a*(x-x_1)^{k_1} *...* (x-x_m)^{k_m}` ...
При решении уравнения `p(x) = 0` числа `x_1, ... , x_m` - это корни уравнения, а степени `k_1 ,..., k_m` - соответствующие кратности корней...

Грубо говоря, кратность корня - это количество корней уравнения равных по значению.

Если кратность `= 1` - простой корень... `> 1` - кратный корень...

Для примера рассмотрим квадратное уравнение...
Дискриминант не нулевой, то уравнение имеет два простых корня (различных)...
Дискриминант равен нулю, то имеем корень кратности два ...

[All_ex]

Если не трудно, объясните на этом примере и подскажите литературу, - смотрите здесь... pay.diary.ru/~eek/p48302307.htm# ... там её много...
Например, Пушкарь Е.А. Дифференциальные уравнения в задачах и примерах: Учебно-методическое пособие. – М.: МГИУ, 2007. – 158 с. ISBN 978-5-2760-1097-7 страницы 75, 79 ...
Хотя посмотреть можно практически любой учебник...

[Лучик искренности]

All_ex, спасибо большое! И за подробное объяснение, и за ссылку на литературу.

[All_ex]

welcome...

[~ghost]

Доброго времени всем)
я как обычно опаздываю=)
дымчатая.реальность, Вы посмотрите еще Поиск по сообществу (колонка слева) — Темы записей—Дифференциальные уравнения - там тоже много похожих.. где-то здесь вроде я и сканы скидывала (когда-то) eek.diary.ru/p176736641.htm#598765281

А то, что у Вас в примере: тот же "метод неопределенных коэффициентов"
— применяется, если в правой части (в `f(x)`) - многочлен(ы) (`P_m(x)` {`m`- степень многочлена}), и/или `e^(alpha*x)` и/или `cos(beta*x)`, `sin(beta*x)`, и/или их произведения. (А если в правой части дроби (с `x` в знаменателе - в т.ч. `tg(x)` и `ctg(x)`), корни, логарифмы.. - то такой метод неопределенных коэффициентов "не пройдет")
Здесь еще бывает « кратность числа `alpha` как корня характеристического уравнения »
т.е. если правая часть записана как `f(x) = e^(alpha*x)*P_m(x)`, то такая « кратность числа `alpha` как корня характеристического уравнения » — это количество совпадений числа `alpha` с корнями `r_i`

[Лучик искренности]

~ghost, спасибо! с методом неопред. коэффициентов разобралась уже)

[Лучик искренности]

~ghost, All_ex, вот со всеми типами вроде бы разобралась (среди тех, что методом неопред. коэффициентов решаются), не нашла только, что делать, если в правой части, например, sin2x*sin3x - это можно решать этим методом или уже нет? если преобразовать по формуле произведения синусов, там дробь получится...

[~ghost]

сразу для всей правой части `f(x) = sin(2x)*sin(3x)` Вы не "пристроите" метод неопределенных коэффициентов,
но если

преобразовать по формуле произведения синусов...

, то вроде `f(x) = 1/2*(cos(x) - cos(5x))` - если и дробь, то "не страшная" ("страшные" - те, в которых `x` в знаменателе (тогда не прошел бы метод неопред. коэфф.); а `1/2` - просто число, коэффициент..)
т.е. надо будет расписать в сумму двух разных правых частей: `f_1(x) = 1/2*cos(x)` и `f_2(x) = - 1/2*cos(5x)` — и т.к. аргументы `x` и `5x` разные, то придется искать 2 разных частных решения.. ( и частное решение "всего" уравнения будет суммой этих двух частных решений)

[Лучик искренности]

~ghost, а такое часто встречается?

[All_ex]

дымчатая.реальность, а такое часто встречается? - Часто... При этом правая часть может сразу иметь вид суммы... и для каждого слагаемого свой вид частного решения...
Например, `f(x) = sin(2x) + e^{3x}`...