понедельник, 15 октября 2012
20:01

Линейка

все записи пользователя в сообществе PMtime
Доброго времени суток!
Прошу помочь с несколькими задачами. Заранее благодарю.
1) Условие:
Докажите, что для любой матрицы А размера 2*2 найдется многочлен P(x) четвертой степени, такой, что P(A)=0 (имеется в виду нулевая матрица размера 2*2 )
Решение:
По условию задачи: `a((a,b),(c,d))^4+b((a,b),(c,d))^3+c((a,b),(c,d))^2+d((a,b),(c,d))+e=0`
По-моему, очевидно, что при `a=b=c=d=e=0` условие задачи выполняется.. В чем загвоздка?
2) Условие: Найдите общий вид матриц 2 2 , перестановочных с матрицей `((3,2),(1,1))`, а также найдите базис и размерность подпространства таких матриц.
Решение:
`X=((a,b),(b/2,d))`
Базис - `(a,b,b/2,d)`
Размерность - 4
Пока пишу 3-ю...
UPD(1.1)
3) Условие:
Найдите размерность и базис подпространства решений однородной СЛАУ:
`{(2x_1+5x_2-7x_3+10x_4+7x_5=0) , (3x_1+2x_2-5x_3+4x_4+3x_5=0) , (7x_1+x_2-8x_3+2x_4+2x_5=0):}`
Решение:


@темы: Линейная алгебра

URL
Комментарии
15.10.2012 в 20:20

Alidoro
1. Четвертая степень многочлена в частности означает, что коэффициент при четвертой степени не равен нулю.
2. Наверно, вы написали не решение, а ответ. И в чем тогда вопрос? Базис должен состоять из матриц. Число матриц в базисе определяет размерность. У вас их четыре что ли?
URL
15.10.2012 в 20:30

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
3) А почему в процессе преобразований у Вас уменьшилось число столбцов?...
URL
15.10.2012 в 20:30

PMtime
Alidoro, \
1)
Хорошо. Тогда следует доказать, что линейная комбинация матриц`a((a,b),(c,d))^4+b((a,b),(c,d))^3+c((a,b),(c,d))^2+d((a,b),(c,d))+e=0` линейно зависима. Тут без перемножения матриц никуда?
2)
Решение:
Матрицы перестановочны тогда и только тогда, когда `AB=BA`
`((a,b),(c,d))((3,2),(1,1))=((3,2),(1,1))((a,b),(c,d))``=>``((3a,2c),(b,d))=((3a,b),(2c,d))`
Отсюда следует `X=((a,b),(b/2,d))`
Базис - `(a,b,b/2,d)`
Размерность - 4
URL
15.10.2012 в 20:31

PMtime
All_ex, Убрал первый, так как `x_1=0`
URL
15.10.2012 в 20:38

Alidoro
PMtime, Я вас не понимаю. 1) Как линейная комбинация может быть линейно зависима. 2) Поясните, что вы делаете и почему выполняется первая =>
URL
15.10.2012 в 20:41

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
3) В первом преобразовании во второй строке не `3`, а `11`...

В любом случае столбцы не убирают... Вы же только преобразования над строчками выполняете...
URL
15.10.2012 в 20:45

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
1) Матрицы линейно зависимы... причём матриц в наборе пять штук... в последнем слагаемом должно стоять `... + e*E = 0`...

2) Как лихо Вы матрицы умножили... :-(
URL
15.10.2012 в 20:50

PMtime
Alidoro,
1)
Я просто чушь несу. У нас есть линейная комбинация `a((a,b),(c,d))^4+b((a,b),(c,d))^3+c((a,b),(c,d))^2+d((a,b),(c,d))+e=0`, причем `a!=0`, тогда матрицы(элементы линейной комбинации) линейно зависимы. Скорее всего дальше рассуждать надо так:
1.`a((a,b),(c,d))^4+b((a,b),(c,d))^3+c((a,b),(c,d))^2+d((a,b),(c,d))+e=0` изоморфно `a((a,b),(c,d))+b((a,b),(c,d))+c((a,b),(c,d))+d((a,b),(c,d))+e=0`
2.`alpha_1((a,b),(c,d))+alpha_2((a,b),(c,d))+alpha_3((a,b),(c,d))+alpha_4((a,b),(c,d))+alpha_5=0` изоморфно `alpha_1(a,b,c,d)+alpha_2(a,b,c,d)+alpha_3(a,b,с,d)+alpha_4(a,b,c,d)+alpha_5(0,0,0,0)=0`
3. Как жаль! Думал приду к тому, что набор элементов всегда линейно зависим. А нет! Тогда не знаю..
2)
Что-то скрипт не работает..
URL
15.10.2012 в 20:53

Alidoro
Что-то сервер, обеспечивающий отображение формул, перестал работать.
Ой, сразу заработал.
URL
15.10.2012 в 20:55

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Я просто чушь несу. - Ну, в целом да...
URL
15.10.2012 в 20:58

Alidoro
1) Почему вы пишете, что `a!=0`, тогда как в задаче матрица произвольная, то есть возможно, что `a=0`.
URL
15.10.2012 в 21:01

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Alidoro, 1) Почему вы пишете, что `a!=0`, тогда как в задаче матрица произвольная, то есть возможно, что `a=0`. - это как я понимаю путаница в обозначениях... и коэффициенты полинома и элементы матрицы обозначены одинаково...
URL
15.10.2012 в 21:01

PMtime
Alidoro, не `a`, а `alpha_1`
URL
15.10.2012 в 21:15

Alidoro
`aA^4+bA^3+cA^2+dA+eE=0` это четыре однородных уравнения с пятью неизвестными. Система всегда совместна. Как получить решение, в котором a=1?
URL
15.10.2012 в 21:46

PMtime
Alidoro, All_ex, Ну, конечно! Единичный, а не нулевой вектор..
Понятие изоморфности я использовал корректно?
Наверное, просто приравнять при а=1...
3)


URL
15.10.2012 в 21:50

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Понятие изоморфности я использовал корректно? - Вот это 1.`a((a,b),(c,d))^4+b((a,b),(c,d))^3+c((a,b),(c,d))^2+d((a,b),(c,d))+e=0` изоморфно `a((a,b),(c,d))+b((a,b),(c,d))+c((a,b),(c,d))+d((a,b),(c,d))+e=0` полная чушь...
URL
15.10.2012 в 21:52

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
3) ну, и в первой строке третий элемент будет `+33` (первое преобразование)... ПОВТОРИМ... :)
URL
15.10.2012 в 21:53

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Наверное, просто приравнять при а=1... - Это надо доказывать, что при ненулевом `a` существует решение...
URL
15.10.2012 в 21:56

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
А если с другими коэффициентами новые 4 матрицы написать? - в смысле?...
URL
15.10.2012 в 21:58

PMtime
All_ex, Как?!
URL
15.10.2012 в 21:59

PMtime
All_ex, `a((a,b),(c,d))^4+b((a,b),(c,d))^3+c((a,b),(c,d))^2+d((a,b),(c,d))+e=0` изоморфно `a((a_1,b_1),(c_1,d_1))+b((a_1,b_1),(c_1,d_1))+c((a_1,b_1),(c_1,d_1))+d((a_1,b_1),(c_1,d_1))+e=0`
URL
15.10.2012 в 22:02

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Ну, всё равно чушь... Что такое изоморфизм?...
URL
15.10.2012 в 22:09

PMtime
Изоморфизм 2-ух множеств - это когда при биекции сохраняется их структура.
По сути, здесь же нас не интересует, какие матрицы в итоге получатся. Они все равно будут квадратными!
URL
15.10.2012 в 22:10

PMtime

Ого. А как такое возможно?
URL
15.10.2012 в 22:21

PMtime
Наверное, просто приравнять при а=1... - Это надо доказывать, что при ненулевом `a` существует решение...
Мы знаем, что элементы линейно зависимы. Следовательно, существует такая нетривиальная линейная комбинация, равная 0. Теперь нам надо доказать, что в такой линейной комбинации именно `a_1!=0`??
URL
15.10.2012 в 22:22

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Ого. А как такое возможно? - А что смущает... вроде всё теперь верно...
URL
15.10.2012 в 22:25

PMtime
Размерность подпространства решений больше размерности самого пространства....:hah:
URL
15.10.2012 в 22:26

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Изоморфизм 2-ух множеств - это когда при биекции сохраняется их структура. - Что значит сохраняется структура?... Обычно говорят о сохранении операций...

По сути, здесь же нас не интересует, какие матрицы в итоге получатся. Они все равно будут квадратными! - Очень даже интересует... Ведь оператор возведения матрицы в степень имеет ядро...
Уж равными эти матрицы в общем случае точно не являются...
URL
15.10.2012 в 22:28

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Размерность подпространства решений больше размерности самого пространства.... - Это с чего Вы так решили?...
URL
15.10.2012 в 22:31

PMtime
Я же пришел к тому, что ранг матрицы равен 2
URL