Линейка

[PMtime]

Доброго времени суток!
Прошу помочь с несколькими задачами. Заранее благодарю.
1) Условие:
Докажите, что для любой матрицы А размера 2*2 найдется многочлен P(x) четвертой степени, такой, что P(A)=0 (имеется в виду нулевая матрица размера 2*2 )
Решение:
По условию задачи: `a((a,b),(c,d))^4+b((a,b),(c,d))^3+c((a,b),(c,d))^2+d((a,b),(c,d))+e=0`
По-моему, очевидно, что при `a=b=c=d=e=0` условие задачи выполняется.. В чем загвоздка?
2) Условие: Найдите общий вид матриц 2 2 , перестановочных с матрицей `((3,2),(1,1))`, а также найдите базис и размерность подпространства таких матриц.
Решение:
`X=((a,b),(b/2,d))`
Базис - `(a,b,b/2,d)`
Размерность - 4
Пока пишу 3-ю...
UPD(1.1)
3) Условие:
Найдите размерность и базис подпространства решений однородной СЛАУ:
`{(2x_1+5x_2-7x_3+10x_4+7x_5=0) , (3x_1+2x_2-5x_3+4x_4+3x_5=0) , (7x_1+x_2-8x_3+2x_4+2x_5=0):}`
Решение:

@темы: Линейная алгебра

Comments

[PMtime]

Почему моя матрица должна быть перестановочной с `((3,2),(1,1))`?

[PMtime]

All_ex, понятием определителей мы не имеем право пользоваться. А как без этого доказать - я не понимаю

[All_ex]

Вы описываете некоторое пространство... по определению в базис входят элементы этого пространства...
То есть матрицы перестановочные с данной по умножению...

[All_ex]

понятием определителей мы не имеем право пользоваться. А как без этого доказать - я не понимаю - Вам не нужен определитель... Вам надо проверить равенство... подставить и показать, что можно выбрать коэффициенты полинома второй степени (выражаемые, через элементы матрицы)...

[PMtime]

Я описываю пространство матриц вида `L=L{ ((a,b/2),(c,d)) }`
Пусть базис - `((0,1),(1/2,0));((1,0),(0,0));((0,0),(0,1))`
Тогда любой вектор пространства L можно выразить линейной комбинацией базиса.
Разве нет?
UPD
Думаю лучше сказать так(в крайнем случае, к такому выводу я пришел после семинаров):
Либо у нас есть множество элементов, задающих пространство, вида ((a,b/2),(c,d)), ЛИБО у нас есть линейная оболочка L=L{ ((1,1/2),(1,1))}

[PMtime]

понятием определителей мы не имеем право пользоваться. А как без этого доказать - я не понимаю - Вам не нужен определитель... Вам надо проверить равенство... подставить и показать, что можно выбрать коэффициенты полинома второй степени (выражаемые, через элементы матрицы)...

Я очень хочу Вас понять. Но мне это с трудом дается.

[All_ex]

Я описываю пространство матриц вида `L=L{ ((a,b/2),(c,d)) }`
Пусть базис - `((0,1),(1/2,0));((1,0),(0,0));((0,0),(0,1))`
Тогда любой вектор пространства L можно выразить линейной комбинацией базиса.
Разве нет? - Такой вопрос Вы уже задаёте в ...надцатый раз... ...
У меня начинает складываться ощущение, что Вы вообще не читаете комментариев, где говорится, что Вы ошибаетесь...

Специально для Вас ещё раз повторю... рация на бронепоезде... решите полученную однородную систему уравнений так же как Вы это делали в задании №3...

[All_ex]

Я очень хочу Вас понять. Но мне это с трудом дается.
Возьмите матрицу `A = ((a_{11}, a_{12}), (a_{21}, a_{22}))` и покажите подстановкой, что она удовлетворяет равенству `A^2 - (a_{11} + a_{22})*A + (a_{11}* a_{22} - a_{12}* a_{21})*E = 0`... Где тут определитель Вы увидели...

[PMtime]

Дорогой All_ex, ну я же Вам сказал.. Этот вопрос не имеет никакого отношения к задаче 3 или какой-либо другой..
И, конечно, я читаю все комментарии.

[All_ex]

Либо у нас есть множество элементов, задающих пространство, вида ((a,b/2),(c,d)), - У Вас на элементы `a, b, c, d` наложены уравнения... то есть это зависимые числа... а сколько независимых ответит решение системы...

[PMtime]

All_ex, `a,b,c,d in RR`... Я не говорил, что они зависимы

[All_ex]

Тогда наконец-то зачеркните задание №2 в топике и напишите, что Вам надо...

[PMtime]

Я описываю пространство матриц вида `L=L{ ((a,b/2),(c,d)) }`
Пусть базис - `((0,1),(1/2,0));((1,0),(0,0));((0,0),(0,1))`
Тогда любой вектор пространства L можно выразить линейной комбинацией базиса. Следовательно, тот набор векторов является базисом.
Разве нет?
UPD
Думаю лучше сказать так(в крайнем случае, к такому выводу я пришел после семинаров):
Либо у нас есть множество элементов, задающих пространство, вида ((a,b/2),(c,d)), ЛИБО у нас есть линейная оболочка L=L{ ((1,1/2),(1,1))}

[All_ex]

Я описываю пространство матриц вида `L=L{ ((a,b/2),(c,d)) }` - Не понятно зачем Вам деление пополам... ну, Вам виднее...
То что Вы описываете - это просто всевозможные матрицы размера `2 times 2`... Да, это 4-х мерное пространство...
Да, `((0,1),(0,0)); ((0,0),(1/2,0)); ((1,0),(0,0)); ((0,0),(0,1))` - будет базисом...

ЛИБО у нас есть линейная оболочка L=L{ ((1,1/2),(1,1))} - она имеет размерность ..2.. 1 ... и, следовательно, такая линейная оболочка не совпадает с `L=L{ ((a,b/2),(c,d)) }`

[PMtime]

ЛИБО у нас есть линейная оболочка L=L{ ((1,1/2),(1,1))}

Может вы подумали, что там 2 вектора.. Но там `L=L{((1,1/2),(1,1))}`

[All_ex]

Тем более, если Вы рассматриваете одну матрицу... значит это одномерное многообразие...

[PMtime]

Я очень хочу Вас понять. Но мне это с трудом дается.
Возьмите матрицу `A = ((a_{11}, a_{12}), (a_{21}, a_{22}))` и покажите подстановкой, что она удовлетворяет равенству `A^2 - (a_{11} + a_{22})*A + (a_{11}* a_{22} - a_{12}* a_{21})*E = 0`... Где тут определитель Вы увидели...

Да, все сходится...
Но я не вижу логики решения задачи.. Совсем. Откуда мы взяли эту формулу? Зачем?
Если Вас не затруднит, расскажите напишите пожалуйста полный алгоритм решения данной задачи. Я буду Вам очень признателен

[All_ex]

Но я не вижу логики решения задачи.. - Считайте это решение методом гениальной догадки...

[All_ex]

Если Вам ничем нельзя пользоваться... то только метод пристального всматривания и проб и ошибок для подбора коэффициентов уравнения...

[Гость]

All_ex, Ясно. Спасибо большое!

[polinapolin]

По поводу 1-го задания...А нельзя сказать, что раз образовалось 5 элементов (матриц размера `2*2`), а пространство этих матриц 4-х мерное , то следовательно 5 матриц линейно зависимы и найдутся ненулевые коэффициенты, при которых сумма этих матриц равна нулю???

[All_ex]

polinapolin, про это уже комментировали... сказать можно... но только надо показать, что коэффициент при `A^4` будет ненулевым...