Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда.

[alligator76]

Найти в форме степенного ряда частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

`4x^2y''+y=0`, `y(0)=1`, `y'(0)=1/2`

Меня сразу настораживает, что при подстановке первого начального условия я получаю `y=0`, а не `y=1`.

решение

Дальше решаю таким образом:

Ищу решение ряда в виде `y=c_0+c_1 x+c_2 x^2+c_3 x^3+c_4 x^4+c_5 x^5+...`

Дифференцирую:

`y'=c_1 +2 c_2 x+3 c_3 x^2+4 c_4 x^3+5 c_5 x^4+...`

При подстановке начальных значений получаю `c_0 =1`, `c_1=1/2`.

`y''=2 c_2+6 c_3 x+12 c_4 x^2+20 c_5 x^3+...`

Подставляю в исходное уравнение:

`(8 c_2 x^2+24 c_3 x^3+48 c_4 x^4+80 c_5 x^5+...)+(c_0+c_1 x+c_2 x^2+c_3 x^3+c_4 x^4+c_5 x^5+...)=0`

Из этого уравнения получается, что все коэффициенты `c_i` равны нулю!

Это значит, что в условии ошибка?

@темы: Дифференциальные уравнения, Ряды

Comments

[All_ex]

Настораживает правильно... (поскольку если не получается `y=0`, значит вторая производная должна быть неограниченна...)

Это уравнение имеет общее решение `y = C_1*sqrt(x) + C_2*sqrt(x)*ln(x)` ... и понятно, что ни одно частное решение уравнения таким начальным данным удовлетворять не будет... (в общем-то и любым другим в нуле)...