Наклонные треугольная призма и параллелепипед. Помогите, пожалуйста, решить.

[Anna_I]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, решить две стереометрические задачи.

1. В наклонной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны между собой. Ребро AA1 составляет с плоскостью основания угол 60 градусов, угол A1AС=углу A1AB < 90 градусов. Прощадь грани CC1B1B равна Q. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

2. В наклонном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 расстояние от ребра АА1 до ребра DD1 равно 10, а от АА1 до ВВ1 - 17. Площадь диагонального сечения ВВ1D1D равна 210. Расстояние между ребром АА1 и диагональю B1D равно 8. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Спасибо!

@темы: Стереометрия

Comments

[к.черный]

1) Рисунок вы себе сделали, смотрите:

угол A1AС=углу A1AB < 90 градусов.

- из этого следует, что точка А1 проектируется на виссектрису треугольника ВАС.
Докажите теперь, что АА1 перпендикулярно ВС (по теореме о 3-х перпендикулярах), а отсюда - что грань

CC1B1B

- квадрат. Дальше все очевидно.

[Anna_I]

спасибо большое!
Вы не могли бы расписать то, что очевидно?
Получается, ребро = Q^(1/2). А как найти периметр перпендикулярного сечения?

[Гость]

1) Ответ: `Q*(1+sqrt(13)/2)`
2) Ответ: 540

Интересные задачки. Это школа? Тогда вопрос: какой профиль школы?

[Anna_I]

Если Вам не сложно, очень прошу, опишите решения этих задач, по которым Вы пришли к этим ответам.
Это 11 класс мат. школы.

Спасибо большое!

[Гость]

Anna_I, если Вы приведете рисунки (чертежи) к задачам, то попытаемся объяснить.

[Anna_I]

Я могу их сама от руки начертить. К условию чертежи не прилагались, если Вы об этом.

[Гость]

Anna_I, конечно, именно от руки.

[к.черный]

2) вспомните, как определяется расстояние между параллельными прямыми.
Пусть точка К принадлежит ребру АА1. Опустим перпендикуляр из точки К на ребро

DD1

и на ребро

ВВ1

.
Докажите, что плоскость KLN перпендикулярна ребру АА1,
докажите, что плоскости KLN и

ВВ1D1

перпендикулярны.
Проведем из точки К перпендикуляр к NL - линии пересечения плоскостей KLN и

ВВ1D1

.
Докажите, что этот отрезок перпендикулярен плоскости ВВ1D1 и равен 8 (

Расстояние между ребром АА1 и диагональю B1D равно 8.

)

[к.черный]

[Гость]

к.черный, просьба о рисунке была к ТС.

[Anna_I]

Извините за качество)
2 задача.

[Anna_I]

1 задача

[Anna_I]

к.черный, спасибо огромное за хороший чертеж и объяснение.

[Anna_I]

Подскажите, пожалуйста, как все-таки доказать, что перпендикуляр из К к NL = 8. И как из этого найти боковое ребро?

[Гость]

Рисунок к первой задаче неверный. Острые углы на гранях при вершине A.
В задаче 2 надо из одной точки на ребре `A A_1` провести перпендикуляры к ребрам `B B_1` и `D D_1`, а также к плоскости `B B_1D_1D` и показать, что все три основания перпендикуляров лежат на одной прямой.

[к.черный]

просьба о рисунке была к ТС.

Гость, я живу в своем режиме, и не всегда в курсе ваших разговоров с ТС. Рисунок был сделан, и выбрасывать я его не собиралась

[Гость]

к.черный, извините, если чем-то Вас задел. У Вас прекрасные рисунки, мне они очень нравятся. Выбрасывать такой рисунок - у меня бы рука не поднялась (удалить с компьютера).
Но желательно, чтобы ТС сделала их самостоятельно.

А задачки интересные. Особенно, если школьники их решать умеют.

[к.черный]

Гость, извините и вы меня

желательно, чтобы ТС сделала их самостоятельно

я ужасно расстроена рисунками, которые делают ученики, мои в том числе. На уроке не хватает времени, чтобы уделить этому побольше внимания

[Anna_I]

Извините за назойливость. Но я так и не смогла до конца разобраться с решением. Вы не могли бы расписать поподробнее?
Вы не подумайте, что я пытаюсь избежать домашнего задания, я уже окончила школу, но там не было мат. уклона, мы особо такие задачи не изучали. Мне нужно помочь родственнице разобраться, для этого хочу для начала понять все сама.

[Гость]

Вам к.черный нарисовала шикарную картинку.
Обозначим основание перпендикуляра длины 8 буквой T. Тогда по теореме Пифагора NT=15, LT=6. Далее, ребра `B B_1` и `D D_1`параллельны, поэтому перпендикуляры TN и TL, лежащие в плоскости `B B_1D_1D` тоже параллельны, а поскольку они проходят через одну точку T, то точки N, T и L лежат на одной прямой и NL=21. Далее очевидно.

Вообще надо садить перед экраном того, кому эта задача нужна. Это человек, как правило, хотя бы представляет, что они проходили в школе. И какой аппарат можно использовать для решения.
Если Вы давненько закончили школу, и не преподаете этот материал, то и проблемы будут несколько другого плана, нежели у школьника.

[к.черный]

Anna_I, и еще:
NL - высота параллелограмма BB1D1D, а т.к. площадь его нам дана, то вот почему ответ на вопрос

как из этого найти боковое ребро?

очевиден.

[Anna_I]

Спасибо огромное! Все теперь понятно, кроме одного: почему точка Т лежит на B1D? Как это доказать?

[Anna_I]

И в чем ошибка первого рисунка? Неверно то, что у меня острые углы на гранях при вершине А? Это же вроде по условию дано.

[к.черный]

Все теперь понятно, кроме одного: почему точка Т лежит на B1D?

а она и не лежит. Ни в моем пояснении, ни в пояснении Гостя этого нет

[к.черный]

Рисунок к 1 задаче:

Для нахождения площади боковой грани вам нужно определить синус угла А1АС

[Вениамин]

Добрый вечер! Меня заинтересовала первая задача, уж больно привлекательная. Остался неразгаданным вопрос, почему перпендикуляр А1H падает на биссектрису? Спасибо заранее.

[Anna_I]

Спасибо Вам!
Вы очень помогли!

[Гость]

Доброе утро всем.
Anna_I, Вам надо найти `A_1M` на последнем рисунке (теорема Пифагора), а для этого надо найти AM (это легко).

Вениамин, проведите еще высоту `A_1N` из `A_1` на `AB`. Обе высоты граней равны, их проекции перпендикулярны соответствующим сторонам основания (теорема о 3 перпендикулярах) и равны (равные наклонные имеют равные проекции). Поэтому точка H равноудалена от сторон AB и AC основания, т.е. принадлежит ...

[Alice_Kukv]

N2

С-15 N2

Дано: ABCDA1B1C1D1 - наклонный параллелепипед; р(AA1; DD1)=10; p(AA1; BB1)=17; BB1D1D - диагональное
сечение; S(BB1D1D)=210; p(AA1; BB1D)=8.

Найти: S(бок)=?

Решение:

1. Пусть К∈AA1

2. Опустим ⊥ KL на DD1, KL=р(AA1; DD1)=10;
Опустим ⊥ KN К на BB1, KN=p(AA1; BB1)=17

3. (KNL)⊥AA1 - по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, т.к.
1)KN⊥BB1 (п2) и DD1∥BB1 (по определению параллелограмма, т.к. BB1D1D - параллелограмм (по определению
параллелепипеда)), значит DD1⊥KN - по свойству ∥ прямых.
2)DD1⊥KL (п2)
3) Следовательно (по п3.1 и по п 3.2) DD1⊥(KLN) - по признаку перпендикулярности прямой и плоскости
4) DD1∥AA1 (по определению параллелограмма), значит AA1⊥(KLN) - по признаку перпендикулярности прямой
и плоскости

4. (KNL)⊥(BB1D1) - по признаку перпендикулярности плоскостей, т.к. (BB1D1) проходит через прямую DD1, и
DD1⊥(KLN) (п3.3);
NL - линия пересечения плоскостей (KNL) и (BB1D1)

5. Опустим ⊥ KT на NL

6. Проведем прямую а через точку T в плоскости (ВВ1D1) так, что а∥АА1. Тогда точка T=пр. на (ВВ1D1) точки К,
значит КТ⊥а

7. КТ⊥(BB1D1) - по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, т.к. КТ⊥а (п6), КТ⊥NL (п5) и а⋂NL в
плоскости (BB1D1)
Значит KT=p(AA1; BB1D)=8

8. По теореме Пифагора:
1) TL=sqrt((KL^2)-(KT^2))=6
2) TN=sqrt((NK^2)-(KT^2))=15,
т.к. KT⊥NL (п5), значит △KLT и △ NKT - прямоугольные

9. NL=TL+TN
NL=21

10. BB1=S(BB1D1D)/NL - по формуле площади параллелограмма (S=ah), т.к. NL - высота параллелограмма BB1D1D
BB1=210/21
ВВ1=10

11. S(бок)=произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро
KNML - перпендикулярное сечение, ВВ1 - боковое ребро
S(бок)=(17+17+10+10)*10
S(бок)=540

Ответ: 540.