ЕГЭ-2012. Математика. Экзамен. Резервный день. 21.06.2012

[sosna24k]

Вариант № 504
C-3 Решите систему неравенств.
`{((9^x - 3^x - 90)/(3^x - 82) <= 1), (log _2 16x >= (log _(0.5x) 2) *log _4 16x^4):}`.
Пожалуйста, посмотрите оформление решения. И и само решение.

----------------------------------------------------
UPD А также (ниже в комментариях):
Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых неравенство `|x^2 - 4x + a | <= 10` верно для всех `x in [a; a+5]`

@темы: Задачи с параметром, ЕГЭ, Логарифмические уравнения (неравенства), Показательные уравнения (неравенства)

Comments

[~ghost]

Доброго времени всем.
sosna24k, Галина Владимировна, здравствуйте.
1) В 1-ом неравенстве `t != 82` {"не равно"}, т.е. и `x != log_3(82)`. т.е. последняя скобка в первом неравенстве - и в ответе - будет такая: )
(интервал справа открытый, неравенство строгое); ну и соответствующие знаки "меньше или равно" в строке "Пояснения" заменятся на "строго меньше"
2) Остальное - по-моему, всё так. Только.. =)
в решении 2-ого неравенства первый переход, первое действие - мне кажется - не совсем "очевидное"..

..я об этом..

т.е. там так и будет, но - почему ? по формуле `log_a (x^p) = p*log_a(x)` где считали множителем - а потом показателем степени (для `2`) число `p = log_4 (16x^4)` ? так ? (т.е. я как-то так поняла, что сам результат верный; а может, Вы как-то иначе сделали— но все-равно, какие-нибудь объяснения нужны бы к этому..)
Вообще-то я бы сразу перевернула б этот логарифм, у которого `0.5*x` в основании: `log_{0.5*x} (2) = 1/(log_2 (0.5*x)) = 1/(log_2(x) + log_2 (0.5)) =...`; получилось бы то же самое - по-моему, быстрее))

[sosna24k]

~ghost, Огромное Вам спасибо. Вы так внимательны, дай вам бог здоровья, счастья, удачи.
Спустя несколько часов, отдохнула и вижу свои промахи, а сразу глаз замылен. В знаменателе 82..., конечно, круглая скобка.
Я думала: навру с равносильностью, особенно, где делала замену, во втором неравенстве. Там, точно все в порядке?
Модуль я не стала писать, так как область допустимых значений записана, что лишнюю запись делать. Хотя, не права может и стоит писать подробнее.

[Гость]

Пару замечаний насчёт оформления решения.

1) D(f)="система условий". Так писать нельзя, поскольку D(f) - область определения функции f, т.е. множество, а "система условий" - это предикат. Но множество и предикат - это объекты разной природы и поэтому не могут быть равными. Нужно писать так: D(f):"система условий" (вместо знака "=" используем знак ":").

2) О записи ответа. Решить систему неравенств - это значит найти множество всех решений этой системы, т.е. в ответе нужно записать множество.
Запись "x принадлежит множеству" является предикатом, а не множеством, поэтому такая запись ответа нежелательна.

[sosna24k]

Гость, спасибо. Я Вас правильно поняла?

[Гость]

Гость, спасибо. Я Вас правильно поняла?
Да, теперь почти как надо! Вот эта запись у Вас была первоначально правильной: `D(f)=(0;2)uu(2;+oo)`.
Двоеточие нужно было поставить только перед системой.

[Гость]

Галина Владимировна, ещё кое-что заметил.

Почти в самом конце решения идёт строка "найдём пересечение множеств ... " и далее Вы пишите множества под знаком системы, т.е. фактически записываете конъюнкцию двух множеств. Но конъюнкция - это операция, которую можно применять к высказываниям и предикатам, но никак не ко множествам. Поэтому в данном случае лучше обойтись словесным оборотом типа: "Пересечение множеств решений неравенств исходной системы есть множество такое-то" или так:
"Найдём пересечение множеств решений неравенств исходной системы: `A cap B = ...`.
Здесь буквами `A` и `B` обозначены множества решений первого и второго неравенств исходной системы.

[Гость]

Или концовку написать так, как у Вас было первоначально: Система двух условий (конъюнкция двух предикатов). Такая запись верна и без лишних слов.

[sosna24k]

Гость,
Я очень хотела бы разобраться. Если Вас не затруднит, посмотрите проблемные моменты.

[Гость]

Галина Владимировна, вот немного подправил.

[sosna24k]

Гость, спасибо.Возьму Вашу запись за образец. Сохранила, распечатаю и буду использовать в работе.
Продолжим обучение. У меня нет уверенности, что я решила правильно задачу:

Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых неравенство `|x^2-4x+a| <= 10` выполняется для всех `x in [a;a+5]`.

[VEk]

Ответ верный. Но сразу вопрос. Откуда берется система (2)?

[sosna24k]

Рисунок, поясняющий решение:

[sosna24k]

VEk, я не знаю, как лучше сформулировать. Помогите. Из рисунка видно - нельзя писать. Слов не могу подобрать,чтобы коротко было и понятно. Попробую конечно, подумаю.Я не уверена: правильное ли у меня решение. Я ещё сомневаюсь.

[VEk]

Замечательно! Но этот рисунок в решении должен быть описан: что, почему, и как. И в этом самый большой минус так называемых графических решений. Из рисунка видно - это не серьезно. Это годится для критериев при штамповке якобы решений (шучу, но по вариантам, распространяемым известной конторой такое впечатление может сложиться). Надо четко все описать, в каких случаях появляется появляется условие `f(2) <= 10`, и т. д.
Вообще при графическом решение во всех задачах с параметром, даже если это уравнение вида `f(x)=a` требуется описывать, что происходит при изменении этого самого параметра `a`. данная задача - не исключение.

[sosna24k]

Попробую.

[VEk]

Решение верное. Но отсутствует обоснование получения системы, из которой все и получается.

[sosna24k]

Такое обоснование пойдет?

[VEk]

Последняя строка неверна.
Стоило сказать о возможности появлении у f(x) дополнительной точки локального максимума на отрезке [a;a+5] и этим объяснить появление дополнительного условия. Но тут тоже надо подумать. Сразу не сформулирую.

[sosna24k]

У Алимова и Мордковича различаются понятия: критические точки. У Мордковича ещё и стационарные есть. Что писать не знаю, выделено красным цветом.

[VEk]

Вы не находите в данной задаче критические точки (что там у Алимова и Мордковича, не имею представления, ни тот, ни другой учебник в руках не держал). На раз Вы сводите задачу к нахождению наибольшего значения функции на отрезке, то должны включать условие попадания критической точки на отрезок, т.е `2 in [a;a+5]`. В этом случае разумнее рассмотреть три промежутка для параметра `a`: `(-oo;-3)`, `[-3;2]` и `(2;+oo)`. В крайних случаях на заданном отрезке функция монотонна, поэтому достаточно рассмотреть одно неравенство. Средний участок - там все три условия плюс границы промежутка.
Если же Вы просто описываете характер графика, то можно вполне обойтись без понятия критической точки. Но надо оговорить возможность появления локального максимума на рассматриваемом промежутке (он не всегда там находится).

[Гость]

Ученик привёл следующий вариант решения данной задачи. (см. ниже). Как можно оценить такое решение?







Ролик к задаче: www.youtube.com/watch?v=RWmhcJZy98A&feature=you...

[sosna24k]

Гость, шикарно. Что скажешь. Ученик, у которого МГУ за плечами, поди, теорию множеств читает в каком - нибудь Вузе. Рисунок и видео - класс. Такой профессионализм во всем. Я еще ни на одном форуме не видела, чтобы так было оформлено решение задачи. А чего бы Вам не зарегистрироваться на этом форуме. Хотя бы знать , что это Вы ( по нику). По моему, здесь для Вас достойная компания. Был на форуме у Ларина подобный товарищ - Olg,но рисовать не умел в графическом редакторе. Ушел. До сих пор вспоминаю. Иногда плачу.

[VEk]

Гость, понятно, что решение пишет не школьник, а взрослый человек. Спасибо за выложенное решение.

Решение - прекрасное. Видел такую идею у Zephyr на форуме Ларина. Естественно, там была только идея и набросок решения, но идея мне очень понравилась.
К чему можно прицепиться, так это к неравенству `y_A < y_D` (используемому по умолчанию). И стоит оговорить положение вершины внутренней параболы по отношению к полосе.
И конечно, поскольку ролик не приложишь к решению, можно описать, что происходит при изменении параметра `a`

Во втором варианте этой задачи: "неравенство `|x^2-6x+a| > 10` не имеет решений на отрезке `[a;a+6]` " отрезок пересекающий полосу не доходит до точки A, а упирается в вершину внутренней параболы.

Присоединяюсь к просьбе Sosna24 о написании комментариев под выбранным Вами ником, а не инкогнито.

[sosna24k]

Гость, я Вас очень прошу зарегистрироваться на этом форуме. Ваше решение покоя мне не дает. Есть определенная категория людей, имеющих свои сайты (самооценка сайта - сотни миллионов рублей), которые воруют чужие решения и размещают их на своих сайтах, от своего имени. Они периодически появляются то там, то здесь. Если мои решения, они не стеснялись выдавать за собственные (С-4,С-3,С-1, С-2, С-6), размещали у себя скриншоты, что говорить о Вашем решении. Своруют однозначно. Жаль, что такой труд достанется непорядочным людям.
С уважением Г.В.

[VEk]

Есть определенная категория людей

Увы, но это так.

[Гость]

Здравствуйте, уважаемые Галина Владимировна и VEk!
Пусть моим ником будет Diligent.
Галина Владимировна, благодарю Вас за положительную оценку решения ученика. Но, к сожалению, такое решение не безупречно, и я считаю, что полный балл за него ставить нельзя, так как отсутствует обоснование некоторых важных моментов. И здесь я полностью согласен с оценкой и комментариями VEk.
Да, ученик продемонстрировал некоторые знания из теории множеств, он получил верный ответ, но не более того. Во многом решение ученика опирается именно на картинку, что недопустимо в математике. Картинка должна быть только иллюстрацией, позволяющей облегчить понимание строгого и обоснованного решения.
Ролик к задаче как раз и был сделан специально для того, чтобы создать иллюзию полного решения. Чтобы понять насколько решение опирается на картинку, нужно просто её убрать. И если решение от этого не пострадает, то всё в порядке, такое решение можно принять.
Теперь по поводу того, что какой-то сайт похитил чужое решение.
В принципе я не против этого. Если ученик прочтёт грамотное решение задачи и от этого будет какая-то польза для него, то я только за это. И лично для меня не так важно, на каком сайте ученик увидел решение и кто его автор. Главное, что ученик узнал что-то новое, взял на вооружение новый метод решения задачи.

[VEk]

Гость, спасибо за отклик. Хотя ученику я бы поставил полный балл. Их так мало, в большинстве своем жуткие ошибки, свидетельствующие о полном непонимании сути задачи.
Видел на проверке ЕГЭ `cos(pi/2-x)=cos(pi/2)-cos(x)`,
`sinx*cosx=1`, `sinx = 1/ (cosx)`, `x = arcsin(1/(cosx))`- это было решение уравнения, и еще ряд перлов, сейчас уже не помню.