Математическая олимпиада в Хорватии

[mpl]

Математическая олимпиада в Хорватии
www.matematika.hr

Математические соревнования в Хорватии проводятся с 1956 года, в то время Хорватия была частью Югославии. Система проведения соревнований несколько изменилась после обретения независимости в 1991 году, нумерация хорватских олимпиад ведется с 1992 года. Соревнования проводятся в несколько этапов - школьный, муниципальный, региональный и, наконец, республиканский этап, т.е. Национальная МО. Национальная МО проводится в начале мая, обычно на адриатическом побережье. Финал проводится для школьников основной и старшей школы.
Школьникам старшей школы предлагаются два варианта заданий, вариант А - для учащихся специализированных школ и вариант В - для всех остальных.

Забытый концлагерь


gazeta-sarov.ru

Просвещённая Европа, словно кошка на мышь, бросается на очередного «сербского экстремиста» и тащит его в Гаагу, но отчего-то с лёгкостью прощает геноцид сербов…

Большинство наших сограждан (во всяком случае – люди старшего поколения) наверняка что-то знают о лагерях смерти Освенцим, Треблинка, но мало кто слышал о такой гигантской «фабрике смерти», как Ясеновац. Между тем, по сведениям немецких источников, в этом усташском концлагере, расположенном на территории нынешней Хорватии, погибли 700 тысяч сербов, а по данным сербских историков, число жертв достигает миллиона. И уж совсем единицы знают о Ядовно – первом из усташских лагерей смерти. Нынешним летом, в то самое время, когда Хорватия праздновала день независимости (на самом деле, день своего кроваво-насильственного выхода из состава Югославии), в Ядовно, вблизи зловещей Шарановой Ямы, поглотившей десятки тысяч жертв усташского геноцида, второй раз в истории проходила траурная церемония с участием делегаций из многих стран – отмечалось 70-летие основания лагеря. На эту церемонию был приглашен и наш саровский историк-балканист, писатель Игорь Макаров.

Отчего о Ядовно так мало известно? Объяснение тому простое. После того, как осенью 1944-го Красная Армия освободила Белград, свой следующий удар она направила не на запад, а на север, по Венгрии. Как следствие, сателлит нацистской Германии – т.н. «Независимое государство Хорватия» (НГХ) было ликвидировано не советскими войсками, а союзниками, которые вовсе не желали раскрытия правды о злодеяниях усташей, ибо их лидеры были взращены на Западе и усилиями самого Запада. Впоследствии многие из видных усташей либо нашли убежище на Западе, либо при содействии западных спецслужб бежали в Латинскую Америку и Австралию. Поэтому концлагерь Ясеновац – в отличие от Освенцима, Бухенвальда, Майданека – не стал достоянием общественности. А Ядовно вообще было вычернуто из истории. Хорватия, будучи «спрятана» внутри новой Югославии, не понесла никакой ответственности за геноцид, а жертвы списали на немцев.

Концлагерь Ядовно располагался в глухих велебитских горах на высоте 1250 метров над уровнем моря, в 22 километрах северо-западнее городка Госпич. Существовал он всего три месяца (в августе 1941 года был закрыт итальянцами), но за это время здесь, по оценкам историков, приняли мученическую смерть более 40 тысяч мирных граждан (в том числе 38 тысяч сербов). Некоторые исследователи, например, белградский публицист Александар Павич, убеждены, что в Ядовно погибли более ста тысяч человек. Есть свидетельства – как сербов, так и хорватов – о том, что усташи, наполнив ямы человеческими телами, дабы замести следы, бетонировали их, засыпали землей и листьями.

Ядовно было открыто 11 апреля 1941 года, уже на другой день после провозглашения упомянутого НГХ во главе с усташским «поглавником» Анте Павеличем. На входе в лагерь был установлен портрет тирана с надписью: «Спремни за дом» («К защите своего дома готовы»).

В состав комплекса Ядовно, помимо одноименного лагеря и 33 бездонных ям на Велебите, входили перевалочный пункт на вокзале в Госпиче (куда несчастных доставляли в грузовых вагонах с надписью «Испорченные фрукты»), городская тюрьма (кодовое название «Герихт») и несколько других лагерей, в том числе лагеря Слана и Метайна на адриатическом острове Паг. В конце августа 1941 года Лика (как именуют эту приморскую область) перешла в итальянскую зону оккупации. Ужаснувшись немыслимым зверствам усташей, итальянские фашисты – сами привыкшие убивать непокорные народы – поспешили закрыть лагерь. Кстати, одним из участников церемонии был и бывший итальянский поручик Аймоне Финестра, впоследствии многолетний член верхней палаты итальянского парламента и градоначальник города Латине. Он служил в том самом оккупационном подразделении, которое закрывало лагерь.

Выступая на траурной церемонии, президент Сербии Б. Тадич обнаружил элементарное незнание истории, назвав первый в истории Второй мировой войны детский концлагерь Метайна Матайном, а лагерь Топовске шупе, в котором погибло наибольшее количество сербских евреев, перепутал с какими-то Топовскими лесами. Одновременно он пытался поставить знак равенства между Ядовно и событиями 1995 года в мусульманской Сребренице, которая стала давно дежурным козырем Запада в антисербской истерии (дескать, у вас были нацисты, но и мы ничем не лучше). Еще более поразительно, что, отвечая на вопросы хорватских журналистов по завершении церемонии, Б.Тадич заявил, что хорватская военная операция «Буря» в начале августа того же 95-го года не имеет ничего общего с геноцидом сербов. И это при том, что «Буря» привела к самому крупному после Второй мировой войны исходу беженцев – из ликвидированной агрессорами Республики Сербской Краины бежали тогда около 300 тысяч сербов, а несколько тысяч погибли под бомбежками. Сейчас эта страна практически очищена от сербов, а ведь не менее 40 процентов современной Хорватии относятся к Военной Краине, то есть это историческая сербская земля. Сербов выгнали с родной земли, и она захирела, превратилась в пустыню.

Свидетельствую как очевидец – огромная часть Хорватии сейчас просто лежит в руинах. Туристов водят за нос блеском Дубровника и других приморских городов, но стоит отъехать километров на 40 вглубь страны и начинается зона сплошной социальной катастрофы. Хуже, чем в дебрях нашей Нижегородской области.

Во время церемонии я слышал рассказы о том, что накануне траурных мероприятий полиция прочесывала окрестный лес с тем, чтобы очистить его от дощечек с надписью «Сербов в яму!». Но, разумеется, никто не позаботился о том, чтобы удалить подобные призывы с форумов усташского сайта «Слободна Лика». Кстати, одновременно с траурной церемонией в Ядовно здесь проходила выставка собак, которая, судя по местной прессе, произвела на жителей Госпича гораздо большее впечатление.

К чести сербов, они все-таки сказали на церемонии свое слово. Холодным душем для официальных хорватских представителей была речь Душана Басташича, председателя Общества «Ядовно-1941» из Баня-Луки (Республика Сербская):

– Не касаясь вопроса о том, является ли Республика Хорватия юридической наследницей НГХ, неопровержимо, что на ее территории находятся места массовых убийств, что жертвы этих злодеяний не эксгумированы, не идентифицированы и не захоронены и, что совершенно незначительное количество преступников названы поименно и преданы суду, – решительно заявил он. – Поражает, что игнорируется требование сербских и еврейских организаций соблюдать установленное законом отношение к месту и жертвам военных преступлений. Более того, места массовых преступлений, даже зарегистрированные в реестре памятников, на протяжении многих лет искусно скрываются в надежде на то, что время сотрет следы военных преступлений усташей.

Обращаясь к хорватскому руководству (в лице министра культуры Ясена Месича и Весны Пусич, спецпредставителя президента страны Иво Йосиповича), Д.Басташич напрямую спросил: «Если, как вы говорите, с вашей строны в девяностые годы имело место продолжение справедливой антифашистской борьбы времен Второй мировой войны, то как истолковать тот очевидный факт, что хорватские силы уничтожили все памятники той самой антифашистской борьбы, поставленные до 1991 года?»

К слову сказать, и памятник жертвам Ядовно, существовавший вблизи Шарановой Ямы – одного из самых крупных карстовых провалов, куда сбрасывали узников, в начале 90-х был уничтожен новым поколением усташей и заново открыт только в ходе церемонии.

– Шаранова Яма, у жерла которой мы стоим, – одна из 33 бездонных могил, куда сбрасывали сербов, евреев, цыган, а также антифашистов любой национальности, – рассказал мне позже Душан Басташич. – Из тех 33 ям только три частично исследованы спелеологами. Установлено, что Шаранова Яма имеет глубину около 42,5 метров, но дальше начинается слой человеческих костей. Никаких эксгумаций до сих пор не производилось, ибо тому всячески препятствуют хорватские власти, еще недавно заявлявшие о своей верности усташской идеологии.

Технология массовых убийств была поразительна. Большую колонну узников, обвитую длинной колючей проволокой, усташи подводили к краю пропасти. Тех, кто стоял впереди, палачи по своему обыкновению убивали топорами-«сербосеками» или молотом и затем сталкивали в бездну. Четыре-пять падающих тел увлекали за собой всю цепь – до сотни живых людей. Пощады не знали и грудные дети – самой младшей жертве Ядовно было шесть месяцев.

Шаранова Яма – это только малая часть Ядовно. Управа концлагеря отстояла от нее в четырех километрах, глубоко в лесу. В прошлом году Душан обратился к властям города Госпича с просьбой показать ему это место. В ответ услышал, что туда нет дороги и, вообще, в горах находиться опасно. Вместе с историком Джуре Затезала Басташич все-таки нашел это место. Там еще видны могильные холмики полутора тысяч жертв, которые были спешно расстреляны из пулеметов перед закрытием лагеря. После войны на этом месте был поставлен памятник, но сейчас он разрушен. И лишь голубые волны дикого шафрана скорбят о невинно убиенных.

Для справки.
Усташи (хорв. Ustase – «восставшие», «повстанцы») – хорватское фашистское движение. В отличие от других хорватских оппозиционных движений, усташи использовали для достижения своих целей прежде всего насильственные методы, в том числе терроризм.

Следуя примеру нацистской Германии, режим усташей издал расовые законы по образу и подобию Нюрнбергских законов, направленные против евреев и цыган. Кроме них, врагами хорватского народа были объявлены и все сербы. Сербы, евреи, цыгане и хорватские антифашисты заключались в концентрационные лагеря и лагеря уничтожения. Тем самым режим усташей с проявлением крайней степени национализма, применяя на практике нацистскую расовую теорию, совершая преступления против человечности и геноцид, являлся хорватским вариантом германского нацизма.

В комментариях приведены задания CrMO 2012, вариант А, для учащихся 1-4 классов старшей школы.

@темы: Олимпиадные задачи, Новости

Comments

[mpl]

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
1. razred - srednja škola - A varijanta
26. travnja 2012.

1. Найдите все пары (х, у) целых чисел, для которых верно

`6x^2y^2 - 4y^2 = 2012 - 3x^2`.

2. Докажите, что для всех действительных чисел a, b, c верно

`1/3 (a + b + c)^2 <= a^2 + b^2 + c^2 + 2 (a - b +1)`.

3. Каждая цифра натурального числа n строго больше стоящей слева от нее цифры. Найдите сумму цифр числа 9n.

4. Дан треугольник ABC с тупым углом при вершине B, пусть D и E середины `bar{AB}` и `bar{AC}`, F - точка, принадлежащая отрезку `bar{BC}`, `/_BFE` - прямой, G - точка на `bar{DE}`, `/_BGE`- прямой.
Докажите, что точки A, F и G лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда 2|BF| = |CF|.

5. Azra загадал 4 действительных числа и записал на доске их всевозможные попарные суммы, после чего стер одну из них. На доске остались числа -2, 1 , 2 , 3 и 6. Какие числа задумал Azra?

[mpl]

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
2. razred - srednja škola - A varijanta
26. travnja 2012.

1. Пусть x - действительное число x, для которого `x^2 - x` и `x^4 - x`- целые числа. Докажите, что x - целое число.

2. Найдите все действительные решения уравнения

`4x^2 - 20lfloor x rfloor + 9 = 0`,

где `lfloor x rfloor` обозначает наибольшее целое число не превосходящее x.

3. Дан равнобедренный треугольник ABC (|AB| = |AC|) вписанный в окружность. Касательные к окружности, проведенные в точках A и C, пересекаются в точке D, /_DBC = 30°. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

4. Докажите, что для положительных действительных чисел a, b и c, таких что `a + b + c <= 3`, верно

`(a+1)/(a(a+2))+ (b +1)/(b(b+2)) + (c+1)/(c(c+2)) >= 2`

5. Можно ли обойти доску размером 4 x 2012 клеток ходом шахматного коня и вернуться обратно, побывав в каждой клетке только один раз?
Конь движется так, как показано на рисунке, из клетки, отмеченной кругом, можно попасть на одну из восьми клеток, отмеченных крестами, если они находятся на доске.

[mpl]

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
3. razred - srednja škola - A varijanta
26. travnja 2012.

1. Докажите, что не существует натурального `n >= 2`, такого что функция

`f (x) = cos (xsqrt(1)) + cos (xsqrt(2)) + ... + cos(xsqrt(n))`

периодическая.

2. Дан треугольник ABC с прямым углом C. Возьмем точку D на стороне `bar{AC}` и точку E на `bar{BD}` , `/_ABC = /_DAE = /_AED`. Докажите, что BE = 2 CD .

3. Для данного простого числа p найдите все целые числа n, такие что `sqrt(n^2 + pn)` - целое.

4. Длины сторон четырехугольника - целые числа, которые являются делителями суммы длин трех других сторон. Докажите, что по крайней мере две стороны четырехугольника равны.

5. На доске были написаны некоторые целые числа. На каждом шаге мы выберем числа a и b и заменяем их на числа 3a - b и 13a - 3b.
Если в самом начале на доске были записаны числа 1, 2, 3, 4, ..., 2011, 2012, то можно ли через конечное число шагов получить на доске числа 2, 4, 6, 8, ..., 4022, 4024?

[mpl]

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
4. razred - srednja škola - A varijanta
26. travnja 2012.

1. a) `x` и `y` действительные числа, такие что `x + y`, `x^2 + y^2` i `x^4 + y^4`- целые. Докажите, что `x^n + y^n` - целое при всех натуральных n.
b) Найдите пример действительных чисел `x` и `y`, для которых `x + y`, `x^2 + y^2` и `x4 + y4` - целые.
c) Найдите пример действительных чисел `x` и `y`, для которых `x + y`, `x^2 + y^2` i `x^3 + y^3` - целые, а `x^4 + y^4` - нецелое число.

2. Пусть `p_1` и `q_1` целые числа, такие что уравнение `x^2 + p_1x + q_1 = 0` имеет два целых корня. Для всех `n in NN` определим числа `p_{n+1}` i `q_{n+1}`:

`p_{n+1} = p_n + 1`, `q_{n+1} = q_n + 1/2p_n`.

Докажите, что существует бесконечно много натуральных n для которых уравнение `x^2 + p_nx + q_n = 0` имеет два целых корня.

3. Дан треугольник с ортоцентром H и центром описанной окружности O. Докажите, что биссектриса угла равного 60° перпендикулярна OH.

4. Пусть n и d - натуральные числа, такие что d - делитель `2n^2`. Докажите, что `n^2 + d` не является полным квадратом.

5. Клетки таблицы 10 x 10 клеток назовем дружественными, если они имеют хотя бы одну общую вершину. В клетки вписывают натуральные числа меньшие или равные 10, при этом числа в дружественных клетках должны быть взаимнопросты. Докажите, что одно из чисел появится в таблице по крайней мере 17 раз.

[VEk]

Спасибо!

[~ghost]

mpl, спасибо.
И за текст о концлагере - тоже. Потому что это надо знать.
-----------------------------------------------
А олимпиадная математика у сербов "круче" (мне кажется)

[~ghost]

В 1-ом комментарии ("1 razred")

---

№ 2. Докажите, что для всех действительных чисел a, b, c верно:
`1/3*(a+b+c)^2 <= a^2 + b^2 + c^2 + 2*(a-b+1)`.

---

Правая часть: `a^2 + 2a +1 + b^2 - 2b +1 + c^2`, т.е. эта правая часть `= (a+1)^2 + (b-1)^2 + c^2`;
и "это не даром" знаки разные =)) - т.е. `(a+1)` и `(b-1)` — тогда `(a + 1) + (b -1) = a + b`;

в общем, дальше уже понятно..=)

т.е. доказать надо, что `1/3*(a + b + c )^2 <= (a+1)^2 + (b -1)^2 + c^2`, т.е. что `1/3*(x + y + c )^2 <= x^2 + y^2 + c^2` {где `x = a+1` и `y= b-1`};
т.е. доказываем, что: `x^2 + y^2 + c^2 + 2xy + 2xc + 2yc <= 3x^2 + 3y^2 + 3c^2`, т.е. что `2x^2 + 2y^2 + 2c^2 - 2xy - 2xc - 2yc >= 0` <=>
<=> `(x-y)^2 + (x-c)^2 + (y-x)^2 >= 0` - верно для `AA x, y, c in RR`;
если вернуться к исходным `a`, `b` и `c`, то это будет: `(a -b +2)^2 + (a - c + 1)^2 + (b - c -1)^2 >= 0`

---

(там же) № 4 Дан треугольник `ABC` с тупым углом при вершине `B`; пусть `D` и `E` - середины `AB` и `AC`, т. `F` - точка, принадлежащая отрезку `BC`, угол `/_BFE` - прямой, т. `G` - точка на `DE`, и угол `/_BGE`- прямой. Докажите, что точки `A`, `F` и `G` лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда `2|BF| = |CF|`.

---

imho: странная задача..
(вообще-то совсем легкая - а задание, наверное, было в том, чтобы вывести все объяснения - и не запутаться в словах ?? )

рисунок

`BFEG` - прямоугольник

это "очевидно" - хотя можно еще и расписать "доказательство"..

(т.к. `DE` -средняя линия, то `DE`||`BC`, тогда если `BG`_|_`DE` ( и `DE`||`BC`), то `BG`_|_ `BC`; и если `BG`_|_`BC` и `FE`_|_`BC`, то `BG`||`FE` ( « на плоскости 2 прямые перпендикулярные одной и той же третьей прямой - будут параллельны друг другу »); т.е. `BFEG` - параллелограмм ( с углами по 90 - т.е. прямоугольник)). Т.е. `GE = BF = x`.
1) Если знаем, что точки `A`, `F` и `G`- на одной прямой, то:
через т. `E` проводим `EM`||`AF`— по теор. Фалеса `EM` будет средней линией в треуг-ке `ACF`; но и `GFME` -параллелограмм (т.к. `GE`||`FM` (уже и было), и построили `EM`||`AF` - если точка `G` принадлежит `AF`, то это же означает, что `EM`||`GF`), а тогда `FM = GE = x`; т.е. и `MC = FM= x` (т.к. `ME` -средн. линия), и `FC = 2x` ( т.е. `FC = 2*BF`)
2) И если знаем, что `|FC| = 2 |BF|`, ( `BF = x` и `FC = 2x`) - то, например, так:
делим пополам отрезок `FC` - получаем `FM = MC = x`, проводим прямую `AF` {не говоря пока, будет ли на ней точка `G`}, и проводим `ME` - среднюю линию в треуг. `ACF` (т.е. будет `ME`||`AF`); обозначим точку `G1` - точку пересечения `DE` и `AF`;
`FMEG1` - параллелограмм (т.к. `FM`||`EG1` и `ME`||`FG1`) => `EG1 = MF = x`, — но и `EG = BF = x` ( из прямоугольника `BFEG`), т.е. `EG1 = EG`. и на одной прямой от т. `E` можно отложить (" в одну сторону") только один отрезок `=x`,т.е. точка `G` совпадает с точкой `G1`
(т.е. `G` принадлежит `AF`)

[~ghost]

3-ий комментарий ("3 razred")

---

№2. Дан треугольник `ABC` с прямым углом `C`. Возьмем точку `D` на стороне `AC` и точку `E` на `BD`, так, что `/_ABC=/_DAE=/_AED`. Докажите, что `BE = 2 CD` .

---

Снова imho (хотя меня вроде никто и не спрашивал=)): вот это уже легко - но красиво=)
напоминает доказательство (один из вариантов доказательства) того, что "катет против 30 градусов = половине гипотенузы" =))

рисунок

решение уже есть на рисунке=) а если совсем расписывать, то так..

По усл: треуг-к `ADE` - равнобедренный ( `AD = DE = x`), и угол `BDC = 2beta`. Построим отрезок `= 2 CD`, т.е. откладываем `CK = CD`— т.к. высота одновременно явл. медианой, то треуг `BDK` - равнобедренный (`BK = BD` и `/_ BKD = /_ BDK = 2 beta`), тогда `/_KBC = 90 - 2beta` и `/_ABK = 90 - 2beta + beta = 90 - beta` => `/_ABK = /_A` => `AKB` - равнобедренный: `AK = KB = BD`, т.е. `x + 2 CD = x + BE` => `2 CD = BE`

P.S. можно и просто "загрузить тригонометрию" (ничего не достраивая..)
`/_BDC = 2beta`; если `AC = b`, то: `CD = (BC)/(tg(2beta)) = b/(tg(beta)*tg(2beta)) =(b*cos(2beta))/(2*sin^2(beta))`;
и `BE = BD - x = BD - (b - CD) = BD - b + CD`,
но `BD - b = (BC)/(sin(2beta)) - b = b/(tg(beta)*sin(2beta)) - b = b/(2*sin^2(beta)) - b = (b*(1 - 2*sin^2(beta))) /(2*sin^2(beta)) = (b*cos(2beta))/(2*sin^2(beta))`,
т.е. `BD - b = CD`, и `BE= BD - b + CD = 2 CD`

Но так не интересно)