[Дилетант]

Всеукраинская математическая олимпиада
LII Всеукраїнська олімпіада з математики
matholymp.org.ua/contests/lii/

Всеукраинская математическая олимпиада — ежегодное соревнование школьников Украины по математике.
ВМО проводится для школьников 8—11 классов. Если ученик учится в классе ниже восьмого, то он может попасть на олимпиаду как восьмиклассник.
ВМО проводится весной (в конце марта) в разных городах Украины, каждый год в некотором городе. Проходит в два тура, два дня подряд. В каждом туре участникам предлагается 4 задачи и 4 часа на их решение (до 2006 года восьмиклассникам предлагалось 3 задачи на 3 часа). Полное решение каждой задачи оценивается в 7 баллов, поэтому можно получить максимум 56 баллов.

В этом году состоялая 52-я олимпиада.




В комментариях представлены задачи двух дней.
Благодарю mpl за моральную поддержку )

@темы: Олимпиадные задачи, Новости

Comments

[Дилетант]

LІІ Всеукраинская ученическая олимпиада по математике
Первый день

Восьмой класс
8.1. Изобразить (приведя обоснование ) на координатной плоскости `xOy` множество всех точек `M(x;y)`, координаты которых удовлетворяют равенству: `|y-x|=2-y-x`.

8.2. Трое мальчиков собирали орехи. Когда они подсчитали, что в целом набрано 420 орехов, то решили поделить их поровну. Сначала первый из мальчиков отдал каждому из двух других по одной четвертой части собранных им орехов и еще по одному ореху; потом 2-ой отдал каждому из двух других по одной четвертой части тех орехов, которые оказались (на тот момент) у него, и еще по одному ореху. После того, как то же самое сделал и 3-ий, - оказалось, что им действительно удалось поделить орехи поровну. Определите, сколько орехов собрал (сначала) каждый из мальчиков. (Ответ обоснуйте).

8.3. Можно ли в таблице размером `7times7` расставить 24 единицы и 25 нулей (в каждой клетке записывается одно число) так, чтобы для любой клетки, в которой записана единица, сумма чисел в соседних с ней клетках была бы = 1, а для любой клетки, в которой находится ноль, сумма чисел в соседних с ней клетках была бы отличной от 1 (две клетки считаются соседними, если они имеют общую сторону)? (Ответ обоснуйте).

8.4. Окружность, вписанная в треугольник `ABC` касается его сторон `AB`, `BC` и `CA` в точках `K`, `N` и `M` соответственно, при чем известно, что `/_MKC = /_ MNA`. Докажите, что треугольник `ABC` равнобедренный.

Девятый класс
9.1. Изобразите (приведя обоснование) на координатной плоскости `xOy` множество всех точек `M(x; y)`, координаты которых удовлетворяют равенству: `|y-[x]| = 2-y-[x]`, где `[x]` —целая часть числа `x`, то есть наибольшее целое число, не превышающее `x`.

9.2. Пусть `f(x)=x^3/(3x^2-3x+1)`. Вычислить значение суммы:
`f(1/2012)+f(2/2012)+...+f(2012/2012)`.

9.3. Дан треугольник `ABC`. Пусть `I_A` — центр окружности, которая касается стороны `BC` и продолжений сторон `AB` и `AC` за точки `B` и `C` соответственно. Докажите, что точки `B`, `C` и центры окружностей описанных вокруг треугольников `ABI_A` и `ACI_A` лежат на одной окружности.

9.4. Найдите наименьшее натуральное число `n` , для которого в каждой клетке таблицы размером `n times n` можно записать целое число из отрезка `[-30; 30]` так, чтобы все целые числа этого отрезка оказались записанными, при чем так, чтобы ни в одной строке, и ни в одном столбце не нашлось бы пары чисел с отрицательным произведением. Ответ обоснуйте.

Десятый класс
10.1. Пусть `a`, `b` и `c` — Натуральные числа. Докажите, что хотя бы одно из чисел
`a^5b - ab^5`, `b^5c - bc^5` или `c^5a - ca^5` делится на 8 без остатка.

10.2. Найти все функции `f`, определенные на всей числовой прямой, принимающие только вещественные значения, и такие, что для любых вещественных `x`, `y` і `z` выполняется:
`f(xy) + f(xz) >= f(x) + f(yz) + 1`.

10.3. Пусть точка `O` — центр окружности, описанной вокруг остроугольного неравнобедренного треугольника `ABC`. Прямые `BO` и `CO` пересекают стороны `AC` и `AB` в точках `K` и `N` соответственно.
На сторонах `AC` и `AB` выбраны (отличные от `K` и `N`) точки `P` и `T` соответственно, такие, что `OK = OP` и `ON = OT`. Через точку `P` проведена прямая, параллельная `BK`, а через точку `T` — прямая, параллельная `CN` , и обозначена через `M` точка пересечения этих прямых.
Докажите, что радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников `AMB`, `BMC` и `CMA` будут равны.

10.4. Пусть `n >= 3` — заданное натуральное число. Последовательность из `2n` чисел `a_1, a_2, ..., a_(2n)` будем называть "удачной", если выполняются следующие 3 условия:
1) все числа `a_1, a_2, ..., a_n` являются попарно разными элементами множества `{1, 2, . . . , n}`;
2) `a_k=a_(n+k)` для всех `k = 1, 2, . . . , n`;
3) существуют такие `i_1 < i_2 < ... < i_n` из множества `{1, 2, . . . , 2n}`, что `a_(i_k) = k` для всех `k = 1, 2, . . . , n`.
Например, для `n = 5` последовательность 1, 3, 4, 2, 5, 1, 3, 4, 2, 5 будет "удачной", а последовательность 2, 1, 3, 5, 4, 2, 1, 3, 5, 4 — нет. Для каждого `n >= 3` найдите количество таких "удачных" последовательностей.

Одиннадцатый класс
11.1. Для вещественных чисел `x in (0; pi)` и `y in (0; pi)` выполнено равенство:
`cos2x cosy - cos2y cosx = cosy - cosx`.
Докажите, что `x = y`.

11.2. Дана функция `f`, определенная на всей числовой прямой, принимающая вещественные значения, и такая, что для всех `x in RR` и `y in RR` выполняется равенство:

`f(x + 2xy) = f(x) + 2f(xy)`.

Найдите значение `f(2012)`, если известно, что `f(2011) = 2012`.

11.3. См. задачу 10.4.

11.4. `SABC` -треугольная пирамида; точка `M` - точка пересечения медиан ее грани `ABC`, при чем известно, что выполняются неравенства:
`MA > 1`, `MB > 1` и `MC > 1`. Докажите, что:

`SA + SB + SC > 3`.

[Дилетант]

LІІ Всеукраинская ученическая олимпиада по математике
Второй день

Восьмой класс
8.5. Найдите все пары положительных рациональных чисел `x` и `y` такие, чтобы оба числа
`x + 1/y` и `y + 1/x` были бы натуральными. Ответ обоснуйте.

8.6. Пусть `[x]` — целая часть числа `x` (то есть наибольшее целое число, не превышающее `x`), `{x} = x - [x]` — дробная часть числа `x`. Решите уравнение:
`{x}^2 +2{x}= 3x^2`.

8.7. Пусть точка `I` — центр окружности, вписанной в треугольник `ABC`. На стороне `AB` взяли (отличную от вершин) точку `M`, такую что `BM < BC`,
причем окружность, описанная вокруг треуг-ка `AMI`, пересекает сторону `AC` в точке `N`, не совпадающей с точками `A` и `C`. Докажите, что: `BM + CN = BC`.

8.8. Пусть `n >= 3` — заданное натуральное число. На клетчатой доске размером `n times n` (каждая клетка явл. квадратом размера `1 times 1`) все клетки диагонали, соединяющей левый нижний угол с правым верхним углом доски, а также все клетки, лежащие под этой диагональю, покрашены черным. Остальные клетки доски покрашены белым. На сколько прямоугольников может оказаться разрезанной часть доски, образованная всеми черными клетками, если всю доску разрезали по линиям сетки на `2n` клетчатых прямоугольников, так, что каждый из прямоугольников состоит только из клеток какого-то одного цвета (к прямоугольникам относятся и квадраты любых размеров). Ответ обоснуйте.

Девятый класс
9.5. Пусть для положительных вещественных чисел `x` и `y` выполнено равенство:
`x^2 + y^2 + (8xy)/(x+y) = 16.
Докажите, что: `x + y = 4`.

9.6. Дан треугольник `ABC` , в котором `/_C = 90^@`, `AC < BC`. На стороне `BC` отметили точку `K`, такую, что `CK = CA`. Пусть `D` — точка отрезка `CK`, такая, что `/_DAK =/_ BAK`. Отрезок `DF` является высотой треугольника `ADB`, а точка `P` — основанием перпендикуляра, проведенного из точки `A` к прямой `FK`. Докажите, что:
`CP = 1/2 (AF + FD + DA)`.

9.7. Пусть `a` и `b` - натуральные числа, такие, что число
`(a^4 - 1)/(b+1) + (b^4 - 1)/(a+1)` является целым. Докажите, что `a^2010 b^2012 - 1` делится на `a + 1` без остатка.

9.8. В стране Олимпии 2012 городов, некоторые из них соединены между собой прямыми авиалиниями (каждая одна авиалиния соединяют между собой только 2 города, причем любые 2 города соединены не более, чем одной авиалинией). Известно, что каждый город соединяется прямыми авиалиниями не более, чем с 8-ю другими городами. Докажите, что в стране можно закрыть не более, чем 2012 авиалиний так, чтобы оказалось, что среди любых 4 городов хотя бы 2 не соединены прямой авиалинией.

Десятый класс
10.5. Решите уравнение:
`x + sqrt(1-x)+1 = sqrt(x) + 3sqrt(x-x^2)`.

10.6. О положительных вещественных числах `a` и `b` известно, что `a + b + 1/a + 1/b = 5`.
Докажите, что: `3sqrt(a+b) >= a + b + 2`.

10.7. В угол `BAC` вписаны 2 окружности `omega_1` и `omega_2`, не имеющие общих точек, причем `B in omega_1`, `C in omega_2`, и радиус окружности `omega_1` меньше, чем радиус окружности `omega_2`. Прямая `BC` второй раз пересекает окружности `omega_1` и `omega_2` в точках `K` и `N` соответственно. Прямые `AK` и `AN` проходят, соответственно, через точки `P in omega_1` и `M in omega_2`, отличные от `K` и `N`. Докажите, что точка `A` лежит на прямой, которая проходит через центры окружностей описанных вокруг треугольников `ACM` и `ABP`.

10.8. См. задачу 9.8.

Одиннадцатый класс
11.5. Решите систему уравнений:
`{((x+y)(1+xy)+(x-y)^2=2),(x^3+y^3=1):}`

11.6. Пусть `H` — точка пересечения высот остроугольного неравнобедренного треугольника `ABC`, т.`M` — середина стороны `AB`, т.`N` — середина стороны `AC`. Обозначим через `P` и `Q` соответственно точки пересечения лучей `MH` и `NH` с окружностью, описанной вокруг треугольника `ABC` . Докажите, что прямые `BQ`, `AH` и `CP` пересекаются в одной точке или параллельны.

11.7. Неотрицательные вещественные числа `a`, `b` и `c` удовлетворяют неравенству: `a + b + c <= 2`.
Докажите, что: `sqrt(a^2+bc) + sqrt(b^2+ca) + sqrt(c^2+ab) <= 3`

11.8. Известно, что многочлен `P(x)` `n`-ой степени с целыми коэффициентами можно представить в виде:
`P(x)=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)`, де `0 < x_k < 3` для всех `k =1, 2, . . . , n`.
Докажите, что:
`x_k in {(3-sqrt(5))/2; 1; 2; (3+sqrt(5))/2}` для всех `k =1, 2, . . . , n`.

[Гость]

Спасибо

[kostyaknop]

Думаете, украинский без перевода полностью понятен?

[Дилетант]

kostyaknop, полагаю, что вполне.
Но если Вам непонятен, и Вы собираетесь решать, то завтра готова перевести.

[kostyaknop]

Я вообще-то знаю украинский язык, для меня переводить не надо. Просто куча моих знакомых реально затрудняются с переводом задач с украинского

[VEk]

Спасибо!

[Дилетант]

kostyaknop, я и сама затрудняюсь, когда речь идет о художественных текстах.
Но мне казалось, задачи достаточно прозрачны. И звучали они очень поэтически, особенно про мальчиков с орешками. ))