суббота, 09 июня 2012
21:25

Математические состязания в Бельгии

все записи пользователя в сообществе mpl
Фестиваль посвященный средневековому обычаю сбрасывать живых кошек с городской башни в городе Ипр.



Математические состязания в Бельгии

Математические состязания в Бельгии проводятся раздельно для каждой нации ее населяющей. Проводятся Olympiade Mathematique Belge = Belgian Mathematical Olympiad, OMB для говорящих на французском языке и Flanders Mathematical Olympiad, FMO (Vlaamse Wiskunde Olympiade, VWO) для говорящих на голландском. По результатам каждой из олимпиад отбираются по 3 школьника, которые будут представлять Бельгию на IMO.

Olympiade mathématique Belge
omb.sbpm.be
Olympiade mathématique Belge - олимпиада для учащихся французских школ Бельгии и Люксембурга. Олимпиада проводится в трех возрастных группах: Mini (классы 1 и 2), Midi (классы 3 и 4) и Maxi (классы 5 и 6 средней школы). Олимпиада проводится в три этапа: отборочный, полуфинал и финал. Первые два этапа проводятся в виде тестов с выбором ответов

Flanders Mathematics Olympiad
www.vwo.be/vwo
С 2001 олимпиада состоит из двух соревнований, одно называется Flanders Mathematics Olympiad, в нем принимают участи школьники 11 и 12 классов, второе - Flanders Mathematics Olympiad - Junior, в нем принимают участие школьники 9 и 10 классов. Каждое состязание проводится в три этапа, называемых первый, второй и финальный раунды. Первый и второй раунды проводятся в виде тестов из 30 вопросов с выбором одного из 5 ответов.

В комментариях приведены условия финальных этапов олимпиад 2012 года.

Благодарю Дилетант за помощь в переводе большей части условий. Ошибки и неточности в переводе на моей совести.

@темы: Образование, Олимпиадные задачи, Люди

URL
Комментарии
09.06.2012 в 21:26

mpl
Olympiade Mathématique Belge

Finale 2012

MINI
Question 1
* Сумма 1 слагаемого $1\times1$;
* Сумма 2 слагаемых $1\times2+2\times1$;
* Сумма 3 слагаемых $1\times3+2\times2+3\times1$;
* Сумма 4 слагаемых $1\times4+2\times3+3\times2+4\times1$;
* Сумма 5 слагаемых $1\times5+2\times4+3\times3+4\times2+5\times1$`;
* ...
(а) Выпишите сумму 9 слагаемых.
(b) Четна или нечетна сумма 2012 слагаемых?
(c) Для каких натуральных `n` сумма `n` слагаемых нечетна?

Question 2
Пусть `A` точка на окружности с центром `O` и радиусом `r`.
(a) Пусть `B` точка, также лежащая на окружности, такая, что `|AB| = |OA|`. Перпендикуляр к `OB` из `A` пересекает окружность в точке `B'`. Четырехугольник `OABB'` (I) трапеция? (II) параллелограмм? (III) ромб? (IV) прямоугольник? (V) квадрат? Обоснуйте.
(b) Пусть `C` также точка на окружности, такая, что `|AC| < |OA|`. Перпендикуляр к `OC` из`A` пересекает окружность в точке `C'`. Четырехугольник `OAC C'` это (I) трапеция? (II) параллелограмм? (III) ромб? (IV) прямоугольник? (V) квадрат? Обоснуйте.
(c) Для какого значения угла $\widehat{ACC^\prime}$ четырехугольник `OAC C'` имеет площадь `r^2/2`?

Question 3
Джастин хочет закрепить пять прямоугольных документов (произвольных размеров), возможно с наложением друг на друга, целиком или частично, на прямоугольной металлической поверхности магнитами, располагая их так, чтобы каждый документ был прикреплен к столу по крайней мере тремя магнитами.
(a) Если пять документов расположены следующим образом, какое минимальное число магнитов он должен задействовать?

(b) Какое минимальное количество магнитов понадобится, чтобы закрепить любую конфигурацию пяти документов? Приведите пример конфигурации из пяти документов, для которой требуется минимальное число магнитов.
(c) Есть ли конфигурация пяти документов, для которой наименьшее требуемой число магнитов равно восьми?

Question 4
Йохан, будучи старше Фабрицио, заметил, что переставив две цифры в своем возрасте, он получит возраст Фабрицио. Фабрицио при этом заметил, что разность между квадратами их возрастов есть квадрат натурального числа (отличного от нуля). Сколько им лет?
URL
09.06.2012 в 21:27

mpl
MIDI
Question 1
Пусть $a$ и $b$ целые числа, разность между которыми кратна $3$.
(a) всегда ли число $\frac23(a^2 + ab + b^2)$ можно представить в виде суммы двух квадратов целых чисел?
(b) всегда ли его можно представить в виде суммы трех квадратов целых чисел?

Question 2
Августин, Беренис, Корали и Дамьен загадали, не обязательно различные, числа a, b, c и d и сообщили их друг другу. Они обнаружили, что количество выбранных 0, 1, 2 и 3 как раз совпадает с a, b, c и d (но не обязательно в таком порядке). Каковы все последовательности (a,b,c,d), соответствующие этой информации?

Question 3
Шестиугольник $ABCDEF$ назовем приятным если он вписан в окружность, и биссектрисы углов $\widehat{ABC}$, $\widehat{CDE}$ и $\widehat{EFA}$ пересекаются в точке $O$, являющейся центром этой окружности.
(a) Докажите, что если $ABCDEF$ приятный, то $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}$.
(b) Существуют ли неправильные шестиугольники, являющиеся приятными? Если да, постройте фигуру, демонстрирующую это. (Объясните построение.)
(c) Докажите, что три главнее диагонали $[AD]$, $[BE]$ et $[CF]$ приятного шестиугольника пересекаются в одной точке.
(d) Пусть $B$, $D$ и $F$ — точки, не лежащие на одной прямой. Постройте («с помощью циркуля и линейки») три точки $A$, $C$ и $E$, так, чтобы получился приятный шестиугольник $ABCDEF$.

Question 4
Длины трех сторон равнобедренного треугольника равны соответственно 29, 29 и 40.
(a) Найдите его периметр и площадь
(b) Существует ли равнобедренный треугольник с данными периметром и площадью, хотя бы одной стороной отличающийся от предыдущего треугольника? Если да, укажите все подходящие равнобедренные треугольники.
URL
09.06.2012 в 21:28

mpl
MAXI

Question 1
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDEFGH$.



(a) Если этот параллелепипед является кубом, какова величина угла $\widehat{FCH}$ ?
(b) Могут ли длины ребер этого параллелепипеда быть выбраны так, чтобы угол $\widehat{FCH}$ был равен $45^\circ$ ?

Каков разброс всевозможных значений угла $\widehat{FCH}$ ?

Question 2
Дано уравнение $pq+qr+pr+1=pqr$, неизвестные $p$, $q$, $r$ являются простыми числами.

(a) Найдите решение.
(b) Покажите, что в каждом решении $p$, $q$ и $r$ различны.
(c) Найдите все решения.

Question 3
В зрительном зале театра 20 рядов по 12 мест в каждом, сидения при этом образуют 12 "колонн". Во время спектакля публика садится так, чтобы в каждом ряду сформировались интервалы (это означает, что кресла между двумя любыми занятыми креслами тоже заняты).
Когда все зрители занимают свои места, количества занятых мест в каждой колонне образуют список из 12 натуральных чисел. Списки 12 натуральных чисел, полученных таким способом, называются возможными.
(a) Является ли возможным список $(5, 5, 5, 5, 2, 1, 0, 2, 3, 6, 7, 5)$? А список $(1, 2, 8, 1, 7, 4, 1, 6, 1, 1, 4, 1)$ ?
(b) Является ли возможным список из 12 натуральных чисел, каждое из которых меньше 5?
(c) Каково наибольшее число $k$, такое что любой список из 12 натуральных чисел между 0 и $k$ является возможным?
(d) Каково наименьшее число $k$, такое что любой список из 12 натуральных чисел между $k$ и 20 является возможным?
(e) Придумайте тест (охватывающий только 12 чисел $n_k$) для проверки является ли список $(n_1, n_2, n_3, n_4,n_5, n_6, n_7, n_8,n_9, n_{10}, n_{11}, n_{12})$ возможным или нет.

Question 4
Открытый круг (это означает круг без ограничивающей его окружности) радиуса 1 разделен на открытые регионы двумя прямыми.
(a) Если прямые параллельны, всегда ли существует открытый круг радиуса 1/3, который целиком лежит в одном из этих регионов?
(b) Если прямые перпендикулярны, всегда ли существует открытый круг радиуса 1/3, который целиком лежит в одном из этих регионов?
(c) Всегда ли существует открытый круг радиуса 1/3, который целиком лежит в одном из этих регионов, независимо от положения двух прямых?
URL
09.06.2012 в 21:29

mpl
Vlaamse Wiskunde Olympiade

2012

Vraag 1.
Ученики одного класса вместе с учителем устроили alpha-beta-gamma турнир. В эту настольную игру всегда играют втроем. Любая комбинация из трех игроков (три школьника или два школьника и учитель) играет только один раз. Победитель получает одно очко, проигравшие не получают ничего. Как это ни удивительно, но по завершении турнира оказалось, что все школьники набрали равное количество очков. Учитель набрал три очка. Сколько всего школьников в этом классе?

Vraag 2.
Пусть $n$ - натуральное число. Назовем $a$ наименьшее натуральное число, которое нужно вычесть из $n$ для получения квадрата натурального числа. Назовем $b$ наименьшее натуральное число, которое нужно прибавить к $n$ для получения квадрата натурального числа. Докажите, что $n-ab$ является квадратом натурального числа.

Vraag 3.
(a) Покажите, что для произвольного угла $\theta$ и для произвольного натурального числа $m$ верно равенство $|\sin m\theta| \leq m|\sin\theta|$;
(b) Покажите, что для любых углов $\theta_1$ и $\theta_2$ и для всех четных $m$ верно неравенство $|\sin m\theta_2-\sin m\theta_1| \leq m|\sin (\theta_2-\theta_1)|$;
(c) Покажите, что для всех нечетных натуральных $m$ и углов $\theta_1$ и $\theta_2$ не выполняется неравенство, приведенное в пункте (b).

Vraag 4.
В треугольнике $ABC$ $\widehat A = 66^\circ$ и $|AB| \lt |AC|$. Биссектриса внешнего угла $A$ пересекает $BC$ в точке $D$ и $|BD| = |AB| + |AC|$. Определите углы $\bigtriangleup ABC$.
URL
09.06.2012 в 21:30

mpl
Junior Wiskunde Olympiade

JWO 2012

Vraag 1.
В нашей школе n школьников учатся в третьих классах и n школьников учатся в четвертых классах. Известно, что
- общее количество классов равно 21;
- количество учеников в любых двух классах отличается не более чем на 1;
- не во всех третьих классах равное количество учеников;
- не во всех четвертых классах равное количество учеников;
- во всех классах количество учеников не меньше 8.
Найти n.

Vraag 2.
Найдите наименьшее возможное значение $x + y$, где $x$ и $y$ натуральные числа, удовлетворяющие неравенству $2010/2011 < x/y < 2011/2012$.

Vraag 3.
Дан четырехугольник $ABCD$. Пусть $M, N$ - средины $[AD]$, $[BC]$. $BM$, $CM$, $AN$, $DN$ делят четырехугольник на $7$ частей, обозначим части примыкающие к $[AB]$, $[CD]$ как $II$, $III$, четырехугольник в середине как $I$. Докажите, что $I = II + III$

Vraag 4.
Прямые `l` и `m` пересекаются под прямым углом в точке `O`. С одной стороны от `l` выбирается точка `F` лежащая на `m`. С другой стороны от `l` выбирается точка `V` не лежащая на `m`. Прямая, соединяющая основание перпендикуляра, опущенного из точки `V` на `l` и точку `F`, пересекает прямую `VO` в точке `B`. Обозначим расстояние от `F`, `V` и `B` до `l` как `f`, `v` и `b`. Докажите, что $1/f = 1/v + 1/b$ выполняется при условии, что $f < v$.
URL
09.06.2012 в 22:00

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Спасибо!
URL
09.06.2012 в 22:08

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
Хотела сказать, что не заметила особого засилья бурбакизма, а потом поняла, что это же Бельгия, а не Франция.
Интересно, как оно там во Франции обстоит сейчас.
URL
10.06.2012 в 00:01

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
mpl, :-D
спасибо! )))
URL
10.06.2012 в 23:01

~ghost
mpl, спасибо!
хотя насчет кошек (с башни) - как-то они очень плохо придумали..=(((
URL