Ряды

[ritmix10]

Всем всем привет=)
Помогите пожалуйста с разложением:
Нужно разложить функцию f(t) в ряд Фурье, считая, что одну половину периода `f=a<0` а другую половину периода `f(t)=a+Vcoswt`. Нарисовать спектрограмму.
начал делать вот так
`a0 = 1/2[int_0^(pi) a*dt + int_(pi)^(2pi) (a+Vcoswt)dt = pi*a+V/(2w) * sin(w*pi)`
`a1 = 1/2[int_0^(pi) a*cos[wt]dt + int_(pi)^(2pi) (a+Vcoswt)*cos[wt]dt = a/(2w)*sin[2*pi*w]+(pi*V)/4-1/4*sin[2*pi*w]+1/4*sin[4*pi*w]`

так??? а дальше вроде зацикливание получается...

@темы: Ряды

Comments

[All_ex]

Обычно в рядах Фурье рассматривается функция на отрезке симметричном относительно нуля.... у Вас видимо должен быть отрезок `[-pi; pi]`...

альше вроде зацикливание получается... - что такое в Вашем понимании - зацикливание?...

Поставьте тему топика, пожалуйста...

[ritmix10]

All_ex, так у меня в задании не указано что от -pi до pi, а просто что первая половина периода-такая функция, вторая такая, как тут быть?

[ritmix10]

помогите пожалуйста, нужно до четверга...=)

[Хранитель печати]

ritmix10,
у вас получатся разные разложения на разных периодах.
Почему выбран от 0 до `2\pi`?
При вычислении `a_0` перед интегралом вроде как должен быть множитель `1/T`, где `T`-период

Когда вы ищете `a_n`, то домножать я бы на вашем месте стал на `cos (2\pint / T)`, а не на `cos \omegat`

[ritmix10]

Хранитель печати, у меня просто в задании сказано что первая половина периода-такая функция, вторая такая, а от 0 до 2pi интуитивно получилось, тогда как у меня период должен быть записан???

[ritmix10]

т.е. мне нужно перед каждым интегралом в знаменателе T/2 писать, а что мне даст запись `cos(2*pi*n*t/T)`

[Хранитель печати]

ritmix10, разложение в ряд Фурье - это разложение по гармоническим функциям - синусам и косинусам - кратного аргумента.
Фундаментальная гармоника определяется периодом разложения - так, чтобы система гармонических функций на интервале разложения образовывала ортогональный базис.

У вас в условии `cos \omega t`, где `\omega` - некоторая частота. Эта частота может не совпадать с частотами базисных функций (т.е. `\omega \ne 2\pi n t/T).
Для определения коэффициентов ряда Фурье нужно использовать следующие формулы.

`a_0 = 2 / T \int_{-T/2}^{T/2} f(t) dt`
`a_n = 2 / T \int_{-T/2}^{T/2} f(t)*cos(2\pi nt/T) dt`
`b_n = 2 / T \int_{-T/2}^{T/2} f(t)*sin(2\pi nt/T) dt`

Обратите внимание, у вас функция не явл ни четной, ни нечетной, будут все три коэффициента.

p.s. извинения, в предыдущем комментарии, конечно, должно быть `2/T` перед интегралом.

[Хранитель печати]

я не знаю, как у вас формулируется задание. Но поскольку на разных периодах базис разный, то спектрограммы также получатся разыные.
В обобщенном виде вряд ли что хорошо сократится...

[ritmix10]

Хранитель печати, ну так я в самом начале задание сформулировал!=)

[All_ex]

так у меня в задании не указано что от -pi до pi, а просто что первая половина периода-такая функция, вторая такая, как тут быть?
Это традиционный период, на котором задают функции при разложении в ряд Фурье... Я думаю, что такой отрезок подразумевается по умолчанию...

[ritmix10]

All_ex, т.е. пределы интегрирования оставлять от - pi/2 до pi/2....никак до конца еще не разобрался....

[All_ex]

первый интеграл - `[-pi; 0]`, а второй - `[0; pi]`...

[All_ex]

У Вас период `T=2*pi` и подставляете в формулы, приведённые Хранителем печати... все интегралы (поскольку функция составная) записываются как сумма двух интегралов... вот тут и смотрим в предыдущую запись...

[ritmix10]

так это я понял, но почему нельзя от 0 до 2pi

[Хранитель печати]

ritmix10, можно, разницы никакой. Вне пределов интервала функция всё одно считается периодической

[All_ex]

можно, разницы никакой - так вроде получим сдвиг не на период, а на половину периода...

[Хранитель печати]

All_ex, ну да.
Как я себе представляю, если мы задаем интервал `(-\pi;\pi)`, то имеем:
`(\-pi)` 11111111111111 `(0)` 22222222222222 `(\pi)` 11111111111111 `(2\pi)` ...
где единицами и двойками обозначены фрагменты функции.
Если мы задаем функцию на интервале `(0; 2\pi)`, получаем
`(\-pi)` 22222222222222 `(0)` 11111111111111 `(\pi)` 22222222222222 `(2\pi)` ...

Первый и второй способы задания, действительно, отличаются на половину периода (ряды также будут отличаться), но оба они не противоречат постановке задачи

[All_ex]

Хранитель печати, ... но оба они не противоречат постановке задачи - Тогда можно сказать, что про величину периода вообще ничего не сказано... то есть можно (а может и нужно) брать интеграл длины `T`...

[ritmix10]

а как потом спектрограмму нарисовать???

[Хранитель печати]

ritmix10, по оси абсцисс номер гармоники, по оси ординат - соответствующие коэффициенты ряда

[ritmix10]

В новой теме я сделал замену переменной x=wt и у меня получается, что a0=a/2+(U/w)*sin(w*pi)
а an=a/(2*pi)
вроде так...
Помогите пожалуйста, очень нужно....=)

[All_ex]

Покажите полное решение...

[ritmix10]

решение

вот

[ritmix10]

помогите пожалуйста очень нужно, а тут всего одна гармоника будет??

[ritmix10]

Очень очень нужно до вторника...)

[ritmix10]

так у меня один коэффициент в разложении получается a0 или вместе с an??

[Хранитель печати]

ritmix10, у вас решение записано неаккуратно.
1. я не понимаю, зачем вы переходите к `\omega` при интегрировании
2. коэффициент `a_0` найден неправильно.
Должно быть `a_0 = 2a + V / (\pi \omega) * sin \pi\omega`
3. Почему `b_n=0`? функция не явл ни четной ни нечетной, будут все коэффициенты

[Хранитель печати]

всё-таки у меня есть ощущение, что коэффициенты `V, \omega` должны быть заданы где-то в условии. Не говоря уже о периоде.
Без знания `\omega` вы не построите спектрограмму, т.к. не сможете сказать, чему равны синусы/косинусы определённых аргументов, того же `sin\pi\omega`, например

[ritmix10]

Хранитель печати, ну не задано вот, а вот если w некое число, допустим для простоты единица, то гармоника одна будет?

[Хранитель печати]

ritmix10, нет, т.к. на половине интервала функция не содержит гармоник (только константа). Будет бесконечное число гармоник, при любом `\omega`, отличном от 0.