Истользование подобия в прямоугольнике

[GetG]

В прямоугольнике ABCD проведены 2 отрезка CF и DE. Известно, что AE:EB=5:1, а AF:FD=2:3. Найдите площадь треугольника FOD, если известно, что площадь треугольника ABCD равна 30.


Моё решение:
1) Sabcd = AB*AD = 6x*5y = 30xy = 30 => xy = 1.
2) Очевидно, что надо использовать подобие. Тогда придётся доводить треугольник OQC, но это ничего не даст.
3) Можно расписать теоремы Пифагора для треугольников EAD и FDC, но нам не нужны те отрезки.
Спасибо.

@темы: Планиметрия

Comments

[Robot]

Продолжаем SE до пересечения с CB, рассматриваем подобие треугольников сначала ТВЕ и ЕAD (выражаем ТВ), а затем ТОС и DOF. Находим коэффициент подобия
Выражаем через S площадь COD, затем зная площадь CFD, находим S

[All_ex]

А если рассмотреть прямоугольник со сторонам 5 и 6 ... найти искомую площадь... а потом показать, что растяжение по одной оси и сжатие по другой не меняют площади...

Тогда опустив из О высоту на FD легко её найти...

[All_ex]

В принципе такую высоту можно найти и без сделанных допущений о длинах сторон .... но с допущениями в разы проще...

[GetG]

Вот и я вначале не понял. Сейчас попробую, спасибо!

[Гость]

Не понимаю, что тут решают. Такой треугольник, как написано в условии, не существует

[GetG]

Хм, так?
1) Продолжили, установил подобие треугольников TBE и DAE (по 2 углам), коэф. = 1/5 => TB = 5y * 1/5 = y.
2) Треугольник TOC ~ DOF, k = 2 => Stoc= 4S.
3) Теперь что-то вроде системы:
18 = 4S + Scod
9 = S + Scod
4) 9 = 3S => S=3.

[All_ex]

Пусть `OH = ax`, `HD = by` ...
Используя подобие треугольников `EAD` и `OHD` получаем `b/a = 1` ...
Используя подобие треугольников `FCD` и `FOH` получаем `(3-b)/a = 1/2` ...
откуда сразу `a = 2` ...

[Гость]

Пункт 3 затянут
достаточно знать к и площадь треугольника СфД
Составляющие его треугольники имеют равные высоты, проведенные из Д, а основания относятся как 1:2, след.., и площади будут относиться в том же отношении
Простите, с мобильника (Робот)

[GetG]

Ага, разобрался. Спасибо!