Ан.геом.

[yoggik_wow]

Задача: Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку (1,1), касающейся оси Ох в точке (3,0) и имеющей ось Оу своей асимптотой.

Мои рассуждения: я подставила точку (1,1) в каноническое уравнение гиперболы, потом точку (3,0) в уравнение касательной к гиперболе. Не знаю, что делать с условием, что Оу-асимптота.

@темы: Аналитическая геометрия

Comments

[Alidoro]

Ясно, что каноническое уравнение не может удовлетворять условию задачи, поскольку оси координат не являются асимптотами. Так что вы зря начали с канонического уравнения.

Как решать - непонятно, потому что неясно, что вы проходили. Скажем, у вас было уравнение гиперболы в асимптотах? Если нет, то вам придется самой доказать такой факт: Если ax+by+c=0 и dx+ey+f=0 уравнения пересекающихся прямых на плоскости, то любая гипербола, для которой эти прямые служат асимптотами задается уравнением (ax+by+c)(dx+ey+f)=k (k<>0). А уравнение касательной к заданной таким образом гиперболе вы сможете найти? Тоже вопрос. Короче: либо вас учили, как делать такие задачи, либо от вас требуется вывести и доказать необходимые формулы.

[yoggik_wow]

уравнение касательной к заданной таким образом гиперболе вы сможете найти

Насколько знаю это делается через дифференцирование и скалярное произведение, так что да, смогу.

задается уравнением (ax+by+c)(dx+ey+f)=k (k<>0).

А вот этого не было.

[Alidoro]

Об этом пишут в учебниках. Например, Мусхелишвили с. 394
Наверно, можно решать и по-другому, например последовательно находить центр гиперболы, который обязан лежать на оси Oy, потом угол наклона второй асимптоты и т. д. Но очевидных способов, как это всё найти что-то не видно. Требуется думать и рассуждать.

[yoggik_wow]

Alidoro, скажите, а возможно ли найти вторую асимптоту к этой гиперболе?

[Alidoro]

Если вы решите задачу, то вы найдете и асимптоту. Но если нахождение асимптоты нужно вам как этап решения задачи, то я не вижу как это сделать.

[yoggik_wow]

Alidoro, я почитал вывод этой формулы в учебнике, который вы посоветовали. Но получается, что ось Оу имеет уравнение х=0, т.е. уравнение гиперболы приобретет вид х*N, где N-какая-то вторая асимптота. Но ведь ее нет.

[Alidoro]

Правильно рассуждаете. Только уравнение будет x*N=k. Теперь надо находить неизвестные коэффициенты из других условий задачи.

[Alidoro]

И формулу эту вы будете должны доказать.

[yoggik_wow]

И формулу эту вы будете должны доказать

Хм...но ведь она в том учебнике доказана через переход в другую систему координат. А вот получается, что х=0 у нас все равно остается, мы же переходим в другую систему координат...

Теперь надо находить неизвестные коэффициенты из других условий задачи.

Я подставила в уравнение точку (1,1) получилось 4 неизвестных.Далее нашла уравнение касательной и подставила туда (0,3)

[All_ex]

Видимо Ваша гипербола имеет уравнение `y = ax + b/x`, тогда `Oy` асимптота автоматически... коэффициенты `a` и `b` находим из условия касания с `Ox`: `y(3) = 0` и `y'(3) = 0`...

Правда точка касания с осью `Ox` с координатами `(0;3)` выглядит странно...

[Alidoro]

Это задача Моденов, Пархоменко № 859.
Там есть ответ: `x^2-4xy-6x+9=0`. Мое решение дает такой же ответ, так что скорее всего он правильный.

[yoggik_wow]

Это задача Моденов, Пархоменко № 859.

Я знаю, что задачка оттуда, я решаю ее Вашим методом,у меня получается два уравнения и куча неизвестных.

Правда точка касания с осью `Ox` с координатами `(0;3)` выглядит странно...

Вы правы, точка выглядит так: (3,0)

[Alidoro]

Две точки это два уравнения, условие касания это еще одно уравнение. Неизвестных 4.

[yoggik_wow]

Две точки это два уравнения

У меня же только одна точка..

[Alidoro]

(0,3) тоже точка.

[All_ex]

Я тормознул, забыл ещё один параметр... `y = ax + b+ c/x`, там же ещё условие прохождение через `(1;1)` есть...

(0,3) тоже точка, но она не оси `Ox` ...

[yoggik_wow]

Alidoro, у меня уравнение гиперболы через асимптоты получается x(d*x+e*y+f)=k, где в скобках это вторая неизвестная асимптота. Правильно?

[Alidoro]

Правильно.

[yoggik_wow]

Правильно.

Далее я его дифференцирую, Получаю уравнение касательной.А далее если подставляю точку (3,0), но там тогда вообще какое-то квадратное уравнение возникает, и x с y остаются...

[All_ex]

Как может получиться квадратное уравнение, если Вы вместо `x` и `y` подставляете `(3;0)`?...

Кстати, `e` можно считать, например, равной 1...

[yoggik_wow]

Как может получиться квадратное уравнение, если Вы вместо `x` и `y` подставляете `(3;0)`?

Так я же еще продифференцировав умножаю скалярно на вектор (x-x0);(y-y0)
Оттуда и квадрат...

[Alidoro]

Непонятно, почему при дифференцировании получается уравнение касательной. Непонятно, что значит дифференцировать уравнение.

[All_ex]

Вы равенство дифференцируете как неявную функцию, считая, что `y=y(x)`... в полученное равенство подставляете координаты точки касания и `y'(3)=0`... и нет никакого квадратного уравнения...

[Alidoro]

Я думал, нахождение касательной это для вас стандартный алгоритм. Если у вас трудности с этим, то не находите касательную, а запишите условие, что в точке (3,0) производная равна нулю, поскольку касательная горизонтальна. Какая у вас получилась производная?

[All_ex]

Alidoro, в принципе рассуждения yoggik_wow правильные, только выводы маленько подкачали...
Если линия задана уравнением `F(x;y)=0`, то касательная будет иметь уравнение `F_x(x_0;y_0)*(x-x_0) + F_y(x_0;y_0)*(y-y_0) = 0`... только теперь это уравнение надо сравнить с уравнением оси `Ox: y=0`, которая является касательной....

yoggik_wow, Вы видимо забыли в частные производные подставить координаты точек...

[Alidoro]

только теперь это уравнение надо сравнить с уравнением оси Ox, y=0, которая является касательной....
Ну так вытаскивайте коэффициент при x и приравнивайте его нулю.

[yoggik_wow]

при дифференцировании получается уравнение касательной.

Оно получается при последующем скалярном умножении на вектор. Производная от х у меня получилась: d*x+e*y+f+d*x, а от у вот такая: e*x.
Далее мы умножаем производную от х на координату (х-х0), а производную от у на (у-у0). Отсюда оно и получилось. А только потом я подставила координаты точки (3,0)

[All_ex]

Не путайте тёплое и мягкое...
Нормальный вектор в точке касания - это градиент функции в точке касания... Поэтому сначала подставляем, а потом делаем выводы...

[yoggik_wow]

All_ex, т.е. я сначала должна в производные подставить координаты точки, а потом умножить их?

[All_ex]

Да...