Определители

[Nimuee]

В университете, к большооому сожалению, проболела тему решения определителей n-ного порядка. Проверьте, пожалуйста, первый определитель - я привела его к Вандермонду, и подскажите, как решать второй? Извиняюсь, если что, за глупость, совершенно не понятно со вторым(

Вот они

@темы: Определители, Высшая алгебра

Comments

[All_ex]

Первый (после вынесения множителей строки), если мне не изменяет память, называется определитель Вронского... Только множитель имеет вид ` x_1*x_2*...*x_n`, и это не совсем то, что написано у Вас...

[Nimuee]

Неправильно вынесла множитель? Т.е. ответ "x_1*x_2*...*x_n" * П (x_i-x_y) ? А второй не подскажете? спасибо за ответ

[All_ex]

Во втором, можно раскрыть скобки по диагонали и записать в виде `1-(2x-x^2)` или при соответствующем обозначении `1-lambda`. Такая матрица получается если вычислить `det(A-lambda*E)`, где матрица `A` состоит из единиц...
Используя знание о том, как выписывается характеристическое уравнение при нахождении собственных значений матрицы `A`, получим, что
определитель равен`lambda^n - n* lambda^(n-1)`. Делаем обратную подстановку и дело в шляпе...

PS: Посмотрите как выписывается коэффициенты характеристического уравнения через главные миноры при нахождении собственных чисел матрицы...

[Nimuee]

спасибо, буду разбираться.. правда, характеристические уравнения нам не давали вообще..

[All_ex]

PPS: Посмотрите как выписывается коэффициенты характеристического уравнения через главные миноры при нахождении собственных чисел матрицы...
Это не сложно... является использованием определения детерминанта в чистом виде...

Проще способ пока не приходит на ум...

[All_ex]

Вот это я облажался...она мне изменяет ... ну, в смысле память... Как я определитель вронскианом обозвал!!! Вот, дупель... Это я Ваш топик не прочитал, где правильное название написано...

[~ghost]

Всем доброго времени)
2-ой: можно сделать "не упоминая" о характеристическом уравнении.. Только это точно будет не "проще" =((

элемент в левом верхнем углу: `(x-1)^2 = (x^2-2x) +1`, и все остальные элементы 1-ого столбца `= 0+1`, т.е. раскладываем определитель в сумму двух определителей ("по элементам 1-ого столбца"): в одном берем левым верхним элементом `x^2-2x`, а все остальные эл-ты 1-ого столбца берем =0, а во втором все эл-ты 1-ого стобца берем =1, тогда:
первый из записанных определителей- при разложении по 1-ому столбцу `= (x^2 -2x)*D_(n-1)`{т.е. получим точно такой же определитель - только на 1 порядок меньше (т.е. D_(n-1)), умноженный на (x^2-2x)}; а во втором определителе вычитаем 1-ю строку из всех остальных - будут под главной диагональю все 0, а на диагонали: левый верхний эл-т =1, а все остальные эл-ты (на диагонали) `(x-1)^2 -1= (x^2-2x)`, т.е. этот второй определитель `= (x^2-2x)^(n-1)`;
т.е. после 1-ого шага: `D_(n) = (x^2-2x)*D_(n-1) + (x^2-2x)^(n-1)`;
с определителем D_(n-1) - все то же самое: `D_(n-1) = (x^2-2x)*D_(n-2) + (x^2-2x)^(n-2)`;
т.е. тогда ( после 2-ого шага ): `D_(n) = (x^2-2x)*( (x^2-2x)*D_(n-2) + (x^2-2x)^(n-2) ) +(x^2-2x)^(n-1)`;
т.е. `D_(n) = ((x^2 -2x)^2)*D_(n-2) + 2*(x^2-2x)^(n-1)`;
если дальше так же - то, наверное , должно получиться `D(n) = (x^2-2x)^n + n*(x^2-2x)^(n-1)`

All_ex, а у нас ответы "разошлись" на `(-1)^n` ?

[All_ex]

~ghost Я сегодня в ударе ... Конечно, вычисляя характеристическое уравнение получается `(-lambda)^n + n * (-lambda)^(n-1)`...

[~ghost]

=) у Вас решение, наверное, все-таки проще
у меня "страшновато" получилось )
может, только для Nimuee подойдет больше (если им про характ. ур-я "еще не говорили" )
(хотя - все равно ведь скажут..)

[All_ex]

~ghost Ну, когда скажут, тогда и применять будут... а пока видимо, это пример на свойства определителя, как Вы и решили...

[~ghost]

и правда

пример на свойства определителя

1) к 1-ому столбцу прибавляем все остальные — получится столбец с одинаковыми элементами `(x-1)^2 + n-1 = x^2- 2x + n` - это можем сразу вынести как множитель ( в определителе останется первый столбец из "1");
2) что дальше - не буду записывать =)) Nimuee, там остался один шаг - и ма-аленький) Сами=)

Да, Nimuee, просьба: постарайтесь набрать условия текстом - это Правила сайта, а точнее, это "необходимость", т.к. картинки "имеют привычку" исчезать.. - будет нечестно ( непонятно будет, что решалось)..