уперлась при решении задачи

[Tanuki-Tone]

В правильной четырехугольной пирамиде ABCDS секущая плоскость проходит через сторону основания CD и делит перамиду на две равные по обьему части. В каком отношении делит плоскость боковую сторону SA?


От Чего прыгать Даже не предстовляю .Обьем усеченной призмы -- как??
Пробывала выводить через ребро, но как посчитать её обьем - она же усеченная.

@темы: Стереометрия, Олимпиадные задачи

Comments

[~ghost]

Всем доброго времени суток.
Tanuki-Tone, как это решить "красиво" - не знаю ( ничего "особо красивого" в голову не приходит=( )

а некрасивый способ решения - например, такой:
тело ABCDPQ можно разбить на 2 пирамиды: 4-уг пирамида ABCDP + 3-уг пирамида CBPQ ;
V( ABCDP ) = (1/3)*S(квадрата)*PK, где PK - высота этой пирамиды,
и PK:SO = xx+y), т.е. `PK = (x/(x+y))*h` {где h =SO - высота всей пирамиды},
т.е. ` V( ABCDP ) = (1/3)*(x/(x+y))*(a^2)*h` {a -сторона квадрата в основании}

а для 3-уг пирамиды CBPQ: отношение объемов = отношению площадей треугольников ("оснований" - если общей вершиной двух пирамид считаем точку C): `V( CBPQ ): V ( CBAS ) = S ( треуг BPQ ): S ( треуг BAS )`;
сначала выразить PQ через x, y и a ( PQ: AB = yx+y) );
( а высота SM ( апофема исходной пирамиды ) разделится в том же отношении x:y )
дальше сами...

у меня получилось, что: `V( CBPQ ): V ( CBAS ) = S ( треуг BPQ ): S ( треуг BAS ) = (xy)/((x+y)^2)` ,
т.е V ( CBPQ ) = (xy)/((x+y)^2) *V( CBAS ), а V( CBAS ) = половине объема исходной пирамиды ( = (1/6)*(a^2)*h )

дальше составить ур-ие ( V( ABCDP ) + V( CBPQ ) = (1/2)*V ( ABCDS ) ), a^2 и h сократятся, останутся x и y - можно будет найти их отношение...
вроде получается, но арифметика какая-то "жестокая"=(
как проще - не знаю...

[Robot]

Можно попробовать разбить пирамиду на две треугольные SABD и SBDC. Секущая плоскость разбивает каждую из них на две части, в частности, в каждой выделяются треугольные пирамиды SPQD и SQDC
Далее доказываем, что PQ||AB, полагаем, что SP=kSA, SQ=kSB и используем

Потом складываем объемы

Хотя м.б. можно и проще

[Robot]

~ghost,
Опять не спим? =)

[Rus-Kira]

А вообще задача не олимпиадная вовсе...

[Robot]

Rus-Kira, ну, давай простое решение!

[~ghost]

доброй ночи ( или доброго утра ) Robot))
кажется, у Вас получилось что-то более приемлемое, чем квадратное уравнение относительно (x/y) (после странных разбиваний пирамиды- в моем случае...)

кстати, действительно я ушла)
Rus-Kira, если выложите простое решение - с удовольствием прочитаю=) но не сейчас=)

ответ у меня еще более странный, чем решение; что-то вроде (sqrt(5) -1) : 2 {если считать от вершины основания}
но в цифрах совсем не уверена (мне и способ решения мой не особо-то нравится)

[Robot]

У меня k=SP/SA=(-1+√5)/2
И да, получается AP/PS=(-1+√5)/2

[Robot]

~ghost, доброй ночи!!!
Я тоже пойду

[Rus-Kira]

Пусть расстояние от `S` до `PQC` будет `x_1`, а от `A` до этой же плоскости будет `x_2`,а `S_(PQC)=S`

Тогда смотрим на `SPQCD`, `APQCD` и `AQBC`:
`V/2=1/3*x_1*S=1/3*x_2*S+x_2/(x_1+x_2)*V/2=1/3*x_2*S+x_2/(x_1+x_2)*1/3*x_1*S`, т.е. `1/3*x_1*S=1/3*x_2*S+x_2/(x_1+x_2)*1/3*x_1*S`
Тогда `x_1^2=x_2^2+x_2*x_1`
Делим обе части на `x_1^2` и обозначаем `x_2/x_1=t=(AP)/(PS)`
Тогда получаем что `1=t^2+t`

[~ghost]

Rus-Kira да, здОрово!)
и у Вас, Rus-Kira, и у Вас, Robot, решение "красивее" той арифметики, которая получилась у меня...;
но, по-моему, все это все равно как-то не "просто" =))
и может, задача все-таки "олимпиа-адная"

[Rus-Kira]

~ghost, ну по мне так она не олимпиадная все таки ) Специфическая чутка - наверное..

[Tanuki-Tone]

огромное спасибо!)