Дифференцирование сложных функций

[simpl1k]

Здравствуйте Уважаемые пользователи.
Я бы хотел попросить у Вас помощи, так сказать. У меня есть проблема с дифференцированием сложных функций, а именно, я знаю правила дифференцирования, понимаю что и как должно быть, НО я путаюсь с чего начинать дифференцирование. Если попадается функция от одной функции, я делаю, но как появляются примеры где функция от 2х, 3х, или даже 4х, функций, я начинаю путаться.

Вот выкладываю примеры функций, и буду премного благодарен если вы мне распишите, или объясните как и с чего начинать, чтобы я рас и на всегда это усвоил.



1. `y=root(3)((x-7)/root(5)(x^2+6))`
2. `y=e^(arctgsqrt(x))*sqrt((1+x*5^root(3)(x))^5)
3. `y=(6+4x^3)/(x^2*root(3)((5+x^4)^2))

Спасибо заранее=)

И да, извиняюсь, если создал топик не так как нужно.

Фух, отредактировал)

@темы: Математический анализ, Производная

Comments

[ducktales/]

я с удовольствием поразбираю с вами этим примеры, если наберете их текстом (см. правила сообщества)

[Гость]

Рассмотрим пример `y=sin^2 x`

В этом примере присутствует композиция функций: внешняя - возведение в квадрат, внутренняя - sin.
Правило простое - производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по внутренней, которую мы принимаем за переменную, на производную внутренней функции

`(sin^2 x)' = | t = sin x| = (t^2)' * (sin x)' = 2t * cos x = 2sin x * cos x = sin 2x`

diary@css,#0b2649,#2c2c2a,#1a1a1a,#999,#8d8e80,#8d8e80,transparent,#000000,url("http://images2.layoutsparks.com/1/204018/dark-moon-night-image-31000.jpg")  !important;  background-repeat:no-repeat !important;  background-attachment:fixed

[ducktales/]

смотрим 1)
это можно записать в общем как (f(x))^(1\5), верно?
нам это удобно, т.к. первым шагом будет именно внешняя функция, т.е. корень
по правилу производной сложной функции: [ (f(x))^(1\5) ]' = 1\5*((f(x))^(1\5-1))*f'(x) = 1\5 * (f(x))^(-4\5)*f'(x),
где f'(x) жто производная дроби внутри корня

[ducktales/]

f(x) - дробь.
в общем виде можем записать как a(x)\b(x)
соответственно (a(x)\b(x))' = {производная дроби} = (a'(x)b(x) - a(x)b'(x))\(b(x))^2
далее тут могут только возникнуть проблема с b'(x)
сначала аналогично - корень, затем домножаем на производную того, что под корнем

и потом ничего не теряем и аккуратно собираем в одно. возможно, что-то сокращаем

[Гость]

shhhhh., внешний корень - третьей степени

[Гость]

Спасибо, я это читал в гугле,в данном примере функция от функции (это я понимаю как делать), а в примерах которые я дал, там функция от нескольких функций и я начинаю путаться, вот я бы и хотел разобрать буквально по пунктам примеры которые я дал..

[ducktales/]

Гость, извините, глазки ночью отказываются хорошо видеть но суть от этого не поменяется в общем-то)
смысл в том, чтобы максимально аккуратно все расписывать

[Гость]

Гость, начинайте делать, показывайте результаты, разберемся с проблемами, если и когда они возникнут

[Гость]

извините, глазки ночью отказываются хорошо видеть

Писал не упрека ради )

[ducktales/]

собственно, гость прав
пишите свое решение, фотографируйте\сканьте, а мы будем проверять ошибки\заступорки

[mad-math]

1-ый пример:
Первой функцией, в которую вложены все остальные является `root(3)(....)`, находим её производную, рассматривая вложенную сложную функцию `(x-7)/root(5)(x^2+6)` просто как `x`.

Она равна:
`1/(3(root(3)(((x-7)/root(3)(x^2+6))^2)))`

Второй функцией является сложная функция `(x-7)/root(5)(x^2+6)`.

Дифференцируя её, мы получаем:
`((x-7)'*root(5)(x^2+6)-(x-7)*(root(5)(x^2+6))')/(root(5)(x^2+6))^2`

Почти все, осталось дифференцировать всего две функции.

Первая:
`(x-7)' = 1`

Со следующей сложнее, поскольку это сложная функция. Дифференцируем первую функцию `root(5)(....)`, в которую вложена функция `(x^2+6)`:
`(root(5)(x^2+6))' = 1/(5(root(5)((x^2+6)^4))))`

2-ый шаг:
`(x^2+6)' = 2x`

Соответственно:
`(root(5)(x^2+6))' = 1/(5(root(5)((x^2+6)^4))) * 2x`

Откуда:
`y' = 1/(3(root(3)(((x-7)/root(3)(x^2+6))^2))) * ((root(5)(x^2+6)-(x-7)*(1/(5(root(5)((x^2+6)^4)))) * 2x))/(root(5)(x^2+6))^2`

Где-то в расчетах мог ошибиться, но ход решения верный. Я бы на вашем месте взял бы примеры попроще. На таких сложно объяснить суть.

[Alidoro]

Любое выражение, которое надо дифференцировать, рассматривайте с точки зрения того, какое последнее действие надо делать при его вычислении. Вот с этого действия и надо начинать дифференцирование. 1. Это извлечение кубического корня, значит надо начинать с формулы производной степени. 2. Производная произведения. 3. Производная частного. Потом раскрывайте производные подвыражений, которые получились из формул. Можете для ясности временно обозначить подвыражения какой нибудь буквой.