Помогите решить

[Montana89]

Пусть u+v+w=3; uv+vw+wu=-24 (здесь u, v, w – вещественные числа). Найти все значения, которые может принимать произведение uvw.

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа, Олимпиадные задачи

Comments

[Montana89]

(u+v+w)^2=3^2
2*(uv+vw+wu)=-24*2

Получим
u^2+v^2+w^2+2*(uv+vw+wu)=9
2*(uv+vw+wu)=-48

Вычтем из первого выражения второе и получим
u^2+v^2+w^2=57
57=16+16+25
То есть решениями данной системы являются числа 4, 4, -5
Значит uvw=4*4*(-5)=-80
Как проверить есть ли другие решения?

[VEk]

Вообще-то при возможности кратности корней получаем, что `uvw in [-80;28]`. Тема - применение исследования функций и теорема Виета

[Montana89]

Можете написать подробней как вы это получили?

[VEk]

Теорему Виета для уравнений высших степеней знаете?

[Montana89]

Да, но где здесь таковое?

[VEk]

Рассмотрите уравнение `x^3-3x^2-24x+c=0` По теореме Виета `c = -uvw`, где три указанных величины - корни уравнения. Остается исследовать функцию `f(x)=x^3-3x^2-24x` и выяснить при каких `c` уравнение `f(x) = c` имеет три (возможно с кратными ) корня.

[Montana89]

при с in [-80; 28]
Получается ответ: uvw принимает все значения из промежутка [-80; 28] ?

[VEk]

Montana89, см. комментарий от 19:34

[Grishun]

Только концы промежутка не включаются, то есть uvw in (-80;28)

[Гость]

Только концы промежутка не включаются, то есть uvw in (-80;28)

Неужели?

[VEk]

Grishun, в условии не сказано, что числа u, v, w различны, сказано только, что вещественные.