Нахождение экстремумов

[Wariot]

Проверьте пожалуйста.

Условие
Найти наибольшее и наменьшее значение функции

a) `y=2*x^2-4*x+5` на отрезке [-1; 0]

b) `y=x^3-3*x` на отрезке [0; 1]

Решение
a) `y'=4*x-4`; `y'=0`; `4x-4=0` => `x=1 notin [-1; 0]` => на данном отрезке экстремумов нет

b) `y'=3*x^2-3`; `y'=0`; `3*x^2-3=0` => `x=1 in [0; 1]` => y(1)=-2 - точка минимума

вот тут вопрос. как узнать - будет ли найденная точка минимумом или максимумом?

@темы: Математический анализ

Comments

[yoggik_wow]

вот тут вопрос. как узнать - будет ли найденная точка минимумом или максимумом?

Посмотреть как ведет себя производная, когда x<1 и когда x>1

[Wariot]

А вообще подход верный? У меня в голове по старой памяти еще крутится вот что. Надо найти критически точки, посчитать значение функции в критических точках И НА КОНЦАХ ОТРЕЗКА, из получившегося набор значений функции выбрать максимальное и минимальное значение - эти значения и будут максимальным и минимальным значением на отрезке.

[Гость]

Проверьте знак второй производной.

[yoggik_wow]

А вообще подход верный?

Вообще да. Такой метод тоже применяется и здесь будет нелишним.

[Гость]

Wariot, подход верный, только его следует дополнить тем, что вы написали, а именно посмотреть значения функции на концах отрезка.

[Wariot]

То есть даже если найденная критическая точка не будет входить в заданный отрезок, то надо будет проверить концы отрезка. И в любом случае мы ишем экстремумы на отрезке (локальные), верно?

[13ый]

То есть даже если найденная критическая точка не будет входить в заданный отрезок, то надо будет проверить концы отрезка.
Да, потому что есть теорема, которая утверждает что функция f непрерывная на отрезке [a,b] обязательно достигает максимума (минимума) в некоторой точке x0 принадлежащей [a,b], следовательно если f не имеет критических точек на интервале (a,b) то максимум(минимум) достигается на концах отрезка.
И в любом случае мы ишем экстремумы на отрезке (локальные), верно?
Да, локальные. Вот если бы в условии было сказано, что исходная функция определена на отрезке, то тогда среди наших экстремумов были бы и глобальные.

[Гость]

Добавлю по первому случаю: если эту функцию записать в виде 2(х-1)^2+3 (выделив полный квадрат), то видно, что на заданном промежутке функция монотонно убывает, поэтому наименьшее значение будет принимать в левой точке,т.е. при х=-1, а наибольшее в правой, т.е. при х=0.

[13ый]

если эту функцию записать в виде 2(х-1)^2+3 (выделив полный квадрат), то видно, что на заданном промежутке функция монотонно убывает, поэтому наименьшее значение будет принимать в левой точке,т.е. при х=-1, а наибольшее в правой, т.е. при х=0.
Ну если, как вы сказали, функция на данном отрезке монотонно убывает, то при x=-1 она будет иметь максимальное значение , а при x=0-минимальное.

[Гость]

Ну, конечно , вы правы, я притормозила, прошу прощения