Центр вписанной в треугольник окружности

[mailraritet]

Доказать, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит внутри треугольника, образованного средними линиями данного треугольника.

Подскажите, пожалуйста, с какого вообще боку подойти к данной задаче? С чего начать и чем закончить?

@темы: Планиметрия

Comments

[mailraritet]

вейко, а в каких точках окружность касается треугольника?

[вейко]

mailraritet, центр вписаной окружности это точка пересечения биссектрис
и имеет следующие свойтсво

Инцентр делит биссектрису угла A в отношении (b+c)/а , где a, b, c — стороны треугольника.

неравество треугольника вспомним и средняя линия отсекаетот данного треугольника подобный
с коэффициентом подобия 2

[вейко]

mailraritet, нарисуйте рисунок с биссектрисами и средними линиями

и слать письма запрещено в личку
задавайте вопросы здесь я увижу их

[mailraritet]

Вот как-то так...

[вейко]

ага отлично получилось точка О точка пересечения биссектрисс и одновременно центр вписаной окружности
обозначим точку пересечения биссектриссы угла в и de , буквой к

тогда вк=(1/2)биссектрисы угла в
а ВО=(биссектриса угла в)*(ав+вс)/ас+ав+вс (точка О делит биссектриссу угла В в отношении (ав+вс)/ас)
(ав+вс)/ас+ав+вс больше 0,5 (в силу неравенства треугольника)

[mailraritet]

вейко, честно сказать, не совсем все понял...

[вейко]

Инцентр делит биссектрису угла A в отношении (b+c)/а , где a, b, c — стороны треугольника.

[mailraritet]

Насколько я понимаю фразу "инцентр делит биссектрису угла B в отношении...", то это значит BO:OB_1=(AB+BC):AC. Верно? Где B_1 - основание биссектрисы BB_1.

[вейко]

да все верно
ВО тогда чему равно?

[mailraritet]

Тогда BO=OB_1*(AB+BC)/AC. C Вашим результатом не сходится...

[вейко]

ну так не правильно вы написали

AB+BC больше AC. значит
(AB+BC)/AC больше 1

значит ВО больше чем OB_1 по вашей формуле

[mailraritet]

Как тогда будет правильно?

[вейко]

ВО=вв1*(ав+вс)/(ас+ав+вс)

[mailraritet]

А по чертежу BO больше чем OB_1

[mailraritet]

вейко, из чего это следует?

[вейко]

а тьфу ваша BO=OB_1*(AB+BC)/AC верна
но нам надо узнать что больше вк или во

и поэтому я выразил ВО через вв1
ВО=вв1*(ав+вс)/(ас+ав+вс)

а следует то что точка О лежит внутри четырехугольника аdec

[mailraritet]

вейко, все, уже почти разобрался) Вот только не понял, откуда такое выражение BO через BB_1?

[вейко]

ну если точка делит в отношении 3/2 скажем

всего длина 5 долей а искомая часть отрезка 3/(2+3)=0,6
а второй кусок 2/(2+3)=0,4

[mailraritet]

вейко, это все я понимаю, но BO как Вы все равно не могу выразить...

[mailraritet]

(ав+вс)/ас+ав+вс больше 0,5 (в силу неравенства треугольника) - вот это тоже не совсем понятно...

[вейко]

ав+вс больше ас

[mailraritet]

вейко, спасибо Вам большое за помощь! Разобрался