Найти оригинал по заданному изображению.

[Temik2704]

Есть дробь вида `((-1/3)p + 4/3)/(p^2-2p+4)` , как найти ее оригинал?
Я так понимаю надо разбить к примеру на дробь примерно след вида (числа взяты наобум) `(p-1)/((p-1)^2 + const)`
Подскажите каким образом??!?!

@темы: Дифференциальные уравнения

Comments

[Гость]

Вы все правильно понимаете, а именно вы хотите привести свое выражение к табличному, поэтому для начала выделите полный квадрат в знаменателе, ну а дальше там все совсем просто.

[Temik2704]

А под какой именно полный квадрат надо подгонять?
Если считать в лоб - Дискриминант отрицательный.След-но надо + и - одинаковое число.
Сверху тоже надо что-то вынести.У меня ничего не получается.Помогите пожалуйста

[Гость]

Выделите полный квадрат в знаменателе (p-1)^2+3. В числителе вынесите -1/3 за знак дроби. Преобразуйте выражение в числителе p-4=p-1-3. Разбейте полученное выражение на два и воспользуйтесь линейность преобразования Лапласа.

[Temik2704]

Т.е. выходит вот так:
`((-1/3)p + 4/3)/(p^2-2p+4)=(-1/3)*((p-4)/((p^2-2p+1)+3))=(-1/3)*((p-1)/((p-1)^2+3) - 3/((p-1)^2+3))`
Первую дробь мы преобразуем как `-1/3*e^t*cos(sqrt(3)*t)`
а как преобразовать вторую дробь?я не нашел подходящих формул

[Temik2704]

Помогите!

[13ый]

а как преобразовать вторую дробь?я не нашел подходящих формул
Представьте тройку в знаменателе второй дроби как (sqrt(3))^2 и один sqrt(3) вынесите перед дробью как сомножитель, в результате в числителе останется sqrt(3), а постоянное слагаемое в знаменателе как раз (sqrt(3))^2, то есть ваше выражение примет вид sqrt(3)*(sqrt(3)/((p-1)^2+(sqrt(3))^2)).
Сомножитель (sqrt(3)/((p-1)^2+(sqrt(3))^2)) есть в таблице оригиналов и изображений, получив оригинал этого сомножителя, умножите его на sqrt(3) и сложите с оригиналом соответствующим первую дробь, которую вы обратили. Все это делать вы имеете право потому, что преобразование Лапласа линейно т.е
L{a*f(t)+b*g(t)}=a*L{f(t)}+bL{g(t)}, где a,b-постоянные, L-символ преобразования Лапласа, a*f(t)+b*g(t)-преобразуемый по Лапласу оригинал.

[Temik2704]

Большое спасибо,сам я не догадался)