Линейный оператор

[Junsui]

Проверить, является ли оператор `A` линейным в `R^3`, если является, то найти его матрицу. Определить собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей `A`.
`A x=(x_2-x_3, 3x_2-x_3, 3x_1+x_3)`

Решение

Отображение `A` является линейным оператором линейного пространства`R^3`, если для любых `x, y in R^3` и для любого `alpha in R` выполняются следующие 2 условия:
`A(x+y)=A(x)+A(y)`
`A(alpha x)= alpha A(x)`
Проверим выполняется и первое условие, пусть `x=(x_1,x_2,x_3)`, `y=(y_1,y_2,y_3) in R^3`
Тогда
`A(x+y)=A((x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3))=` `((x_2+y_2)-(x_3+y_3),3(x_2+y_2)-(x_3+y_3),3(x_1+y_1)+(x_3+y_3))`
`A(x)+A(y)=A((x_1,x_2,x_3))+A((y_1,y_2,y_3))=` `(x_2-x_3,3x_2-x_3,3x_1+x_3)+(y_2-y_3,3y_2-y_3,3y_1+y_3)=` `((x_2+y_2)-(x_3+y_3),3(x_2+y_2)-(x_3+y_3),3(x_1+y_1)+(x_3+y_3))`
Следовательно, `A(x+y)=A(x)+A(y)`
Проверим, выполняется ли второе условие. Пусть `x=(x_1,x_2,x_3) in R^3` , ` alpha in R`. Тогда,
`A(alpha x)=A((alpha x_1,alpha x_2,alpha x_3))=((alpha x_2-alpha x_3,3alpha x_2-alpha x_3,3alpha x_1+alpha x_3))`
`alpha A(x)=alpha A((x_1,x_2,x_3))=alpha (x_2-x_3,x_2-x_3,x_1+x_3)=` `((alpha x_2-alpha x_3,3alpha x_2-alpha x_3,3alpha x_1+alpha x_3))`
Следовательно, `A(alpha x)= alpha A(x)`
Таким образом, `A` является линейным оператором линейного пространства `R^3`
Составим матрицу линейного оператора.
`A=((0,1,-1),(0,3,-1),(3,0,1))`
Для нахождения собственных значений линейного оператора составляем характеристическое уравнение, которое примет вид
`-lambda^3+4*lambda^2-6*lambda+6=0`
Решая кубическое уравнение по методу Виета-Кардано, получаем
`lambda_1=2.575`
Комплексно-сопряженные корни:
`lambda_2 = 0.713 + i × (1.35)`
`lambda_3 = 0.713 - i × (1.35)`

Вопросы

Правильно ли это всё?
И если да, то как искать собственные векторы от этих значений?
При подстановке значение 2.575, решая систему из трех уравнений, у меня получилось, что координаты первого вектора равны `(0;0;0)`. Верно ли?

@темы: Линейная алгебра, Высшая алгебра

Comments

[~ghost]

Всем доброго времени суток.
Junsui, даже не знаю, что "ценного" смогу сказать...В том, что Вы написали ( в решении ) — ошибок не вижу((

Проверка "линейности" оператора - ну да, вроде так. Матрица оператора- такая, характеристич ур-е - такое, и, похоже, и корни где-то такие...((
По крайней мере вещественный корень - приблизительно такой.
Единственное, о чем Вы пишете неверно: координаты первого вектора равны (0;0;0)— нет, не так;
при подстановке собственного числа должна получаться система, имеющая множество решений ( должен получиться собственный вектор, в котором координаты будут как-то выражены через параметр ); а "нули" у Вас получились, видно, потому что Вы пытались решать "точно", подставив приблизительное значение lambda ( тогда уже попробуйте просто записать, например, x2 и x3 через x1 из первых двух ур-ий, и если при подстановке в 3-е ур-ие сойдется приблизительно - то все o'k ).

Попробуйте перепроверить условие. Точно такие векторы соответствуют векторами базиса? (а то "мрачно" как-то выглядит)

[~ghost]

Для комплексных собственных чисел вроде можно находить собств. векторы так же, как и для вещественных ( подставить lambda в матрицу (A-lambda*E), и записать однородную систему, которая тоже должна иметь "бесконечно много" решений - собственных векторов (координаты выражаются через параметр)).
Но у Вас и так корни приблизительные, и при выражении переменных друг через друга - числа будут какие-то совсем "нехорошие"((

[Junsui]

~ghost, спасибо большое! Условие перепроверяла миллион раз. Меня тоже всё это жутко смущает, но, видимо, деваться некуда. Придется делать "мрачное" решение

[Гость]

Уважаемая Junsui, подскажите пожалуйста как вы решали дальше эту задачу, у меня по аналогии выходит примерно то же самое, но я не знаю как находить собственные вектора для комплексно-сопряженных корней уравнения. Очень сильно жмут сроки, нет времени на создание отдельного топика, да и, если честно, не вижу смысла в нем - все равно свое решение отсюда же брал. Заранее спасибо!

[Junsui]

Гость, собственно для комплексно-сопряженных корней всё тоже самое, что и для действительного. В параметрическое уравнение подставляете вместо `lambda` комплексный корень, получаете систему уравнений, выражаете переменные через друг друга, потом задаете одну переменную через параметр и находите остальные. Простите, тоже совсем нет времени набирать полное решение, потому что его еще как такового на черновике даже нет. Ну вот вроде бы один из векторов выглядит так `{C; (0,096+0,45 i)C; (1,6759+0,1913 i)C)}`

[Hostyle]

Junsui, большое спасибо!)