Треугольная пирамида

[_spider_]

Доброго времени суток!

Пишу Вам в надежде на помощь в решении задач. Не могли бы Вы подсказать мне алгоритм решения и формулы , по которым решается следующая задача:

Даны координаты вершин треугольной пирамиды `A_(1)`,`A_(2)`, `A_(3)`, `A_(4)`. Найти:
1. Угол между ребрами `A_(1)A_(2)` и `A_(1)A_(4)`
2. Площадь грани `A_(1)A_(2)A_(3)`
3. Проекцию вектора `vec(A_(1)A_(3))` на `vec(A_(1)A_(4))`
4. Уравнение прямой `A_(1)A_(2)`
5. Уравнение плоскости, которой принадлежит грань `A_(1)A_(2)A_(3)`
6. Расстояние от вершины `A_(4)` до грани `A_(1)A_(2)A_(3)`
7. Угол между ребрами `A_(1)A_(4)` и гранью `A_(1)A_(2)A_(3)`

`A_(1)(8, 6, 4)`, `A_(2)(10, 5, 5)`, `A_(3)(5, 6, 8)`, `A_(4)(8, 10, 7)`





Очень хотелось бы провести решение в форме дискусси, да бы не сойти с правильного пути, чтобы кто-то смог проконтролировать
Отвечать смогу только в послерабочее время с 18-00.
Буду очень стараться. Заранее спасибо.

@темы: Аналитическая геометрия, Векторная алгебра

Comments

[Robot]

Онлайн-решатель
alexlarin.net/Piramida.htm

методичка
favt.clan.su/_ld/0/25_Lineage-RGR1.pdf

про уравнение грани
pay.diary.ru/~eek/p36932279.htm#152565291
уравнение прямой
pay.diary.ru/~eek/p36932279.htm#152539745

[_spider_]

Прошу прощения, впредь буду знать. Я вроде бы исправил. Я не стал ставить этот скрипт, поэтому мне остается только надеется, что я все формулы всписал корректно и у вас они отображаются куда читабельнее, чем у меня

[Гость]

Я не стал ставить этот скрипт

Вы можете попробовать eek.diary.ru/p164253351.htm
Установить/использовать bookmarklets менее хлопотно

[Гость]

_spider_, начните читать, делать, будут конкретные вопросы - задавайте

[_spider_]

Добрый день. В 1-м пункте у меня получилось:

`arccos(-(1/(5*sqrt(6))))`

Скажите, пожалуйста, это как-то дальше можно преобразовать или оставить в качестве окончательного ответа?

[_spider_]

Во 2-м пункте у меня вышло:

`S = sqrt(146)/2`

[_spider_]

Подскажите, пожалуйста, в 3-м пункте, чтобы найти проекцию вектора `A_(1)A_(3)` на вектор `A_(1)A_(4)`, нужно скалярное произвдение этих векторов поделить на длину вектора `A_(1)A_(4)`, или я ошибаюсь?

[Robot]

_spider_,
в первом ответ такой
Я считаю, что можно оставить

Подскажите, пожалуйста, в 3-м пункте,

В некоторых учебных заведениях проекция вектора на вектор - векторная величина, в некоторых скаляр
Как у вас?

[Robot]

Во 2-м пункте у меня вышло:

Да, так

[_spider_]

Честно говоря, не знаю, как у нас Но, если считать, скаляр, то у меня вышло:

`np_(vec(A_(1)A_(4))) vec(A_(1)A_(3)) = 12/5`

[Robot]

Если скалярная, то да

[_spider_]

В 4-м пункте получилось следующее уравнение прямой:

`(x-8)/2 = 6-y = z-4`

[_spider_]

В 5-м пункте получилось уравнение плоскости следующего вида:

`4x+11y-3z=86`

[Robot]

я бы оставила знаменатели

`(x−8)/2=(y-6)/-1=(z−4)/1
именно так каноническое записывается

[_spider_]

Скажите, пожалуйста, как найти расстояние от вершины `A_(4)` до грани `A_(1)A_(2)A_(3)`
Я так понимаю, задача сводится к нахождению точки пересечения высоты с гранью, а дальше по известным координатам двух точек посчитать длину вектора не составит огромного труда.
Или можно как-то иначе?

[Robot]

В 5 поподробнее напишите как решали
Координаты А2 ур-ю пл-ти не удовлетворяют

[Robot]

Или можно как-то иначе?

Найти по формуле расстояния от точки до плоскости
Только ур-е пл-ти должно быть правильны

[_spider_]

`A_(1)(8,6,4), vec(A_(1)A_(2))={2;-1;1}, vec(A_(1)A_(3))={-3;0;4}`

`|(x-8,y-6,z-4),(2,-1,1),(-3,0,4)|=0`

`(x-8)|(-1,1),(0,4)|-(y-6)|(2,1),(-3,4)|+(z-4)|(2,-1),(-3,0)|=0`

`-4(x-8)-11(y-6)+3(z-4)=0`

`-4x-11y+3z+86=0`

`4x+11y-3z=86`

[Robot]

Это нельзя назвать полным решением пункта 5
А дальше как?
пока все правильно

[Robot]

_spider_, решения можно сканами или фото

[_spider_]

Вроде бы полностью оформил решение. Подскажите, пожалуйста, где я ошибся?

[Robot]

`-4(x-8)-11(y-6)+3(z-4)=0`
вот тут
-3(z-4)

[_spider_]

`4x+11y+3z=110`

[Robot]

Да

[_spider_]

Спасибо
Теперь, когда мы имеем правильное уравнение плоскости (), мы можем приступить к нахождению расстояния от точки до плоскости?

[Robot]

Можем

[_spider_]

ммм, как здорово )) А не затруднит ли Вас подсказать мне, как это можно сделать?

[Robot]

Расстояние от вершины до грани

- это расстояние от точки до плоскости
www.math.ru/dic/570

[Robot]

И еще про угол между прямой и плоскостью
abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/page0019.asp

[_spider_]

Получилось расстояние `rho = 53/sqrt(146)`