[milkeyway]

я опять с С5

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
`{(x^2 - 2ax - |y| + a^2 + a le 0),(y^2 + xy - 2ay - ax + a^2 = 0):}`
имеет ровно 3 решения.


я только упростила :
первое: (x-a)^2 le y-a, y ge 0
(x-a)^2 le -y-a, y le 0

второе: (y-a)^2 = x(a-y)


а дальше идей вообще нет
попыталась построить первую пару,получилась "таблеточка" такая из парабол)
в общем,прошу помощи,товарищи,снова..)

@темы: Задачи с параметром, ЕГЭ, Уравнения (неравенства) с модулем

Comments

[к.черный]

второе уравнение решаем как квадратное:
у-а=0
или
у-а=-х

[milkeyway]

(x-a)^2 le 0
(x-a)^2 + a le 0

или

(x-a)^2 le -x
(x-a)^2 + 2a le x

построить или что?когда три решения будет тогда,условие?..

[Euler86]

Три решения будут только в том случае если прямая `y=a-x` касается обеих парабол. В случае пересечения парабол/параболы там множество решений.
Ответ: `a = 1/4`

[milkeyway]

у меня везде получается два решения..

[remonortsa2]

(в продолжении ответа (2011-11-29, 14:42 ) из другого поста )

Итак,
найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
`{(x^2-2ax-|y|+a^2+a le 0),(y^2+xy-2ay-ax+a^2=0):}`
имеет ровно 3 решения.


Если честно, не знаю, приведет ли такой подход правильным путем к решению, но пока можно начать со следующего:

1. Решение системы - пара чисел `(x_0,y_0)`, подстановка которых в условие дает нам верное равенство и неравенство. При различных значениях параметра `a` таких пар чисел может не быть вообще, может быть бесконечно много и может быть ровно 3. Необходимо найти все такие значения `a`.

2. Начнем работу со второго уравнения, т.к. оно проще, чем неравенство. Как уже верно заметили, его корнями будут `y_1=a` и `y_2=a-x` или, иными словами, вместо исходной системы "условий" можно записать 2 системы:

`{(x^2-2ax-|y|+a^2+a le 0),(y=a):}` (1) и `{(x^2-2ax-|y|+a^2+a le 0),(y=a-x):}` (2)

3. Каждую систему исследовать по отдельности и найти, будет ли решений при разных значениях параметра `a` бесконечно много или всего несколько - это легко. Например, (1) при `a<0` преобразуется к виду
`(x-(1+a))^2 le -2x+1`.

А это достаточно тривиальное неравенство для нахождения количества решений при различных значениях параметра a.

Система (2) тоже к аналогичным неравенствам преобразуется.

4. Как соединить эти результаты вместе и соотнести с исходной задачей - это открытый вопрос для меня. Сейчас ничего не могу сказать. Возможно, кто-то знает более подходящий способ решения.

[к.черный]

тут проблема в том, что квадратное неравенство может иметь 0, 1 или бесконечно много решений.

Euler86 написал уже верный ответ, только мне его объяснение непонятно.
Я бы неравенство (1) и (2) переписала так:
`(x-a)^2+a-|a|<=0` (1) и `|x-a|^2-|x-a|+a<=0` (2)

Рассмотрим неравенство (2).
Если квадратное неравенство `t^2-t+a<=0`(2*) не имеет решения, то и нер-во (2) не имеет решения, сл-но, система не наберет 3-х решений.
Если решением квадратного нер-ва является промежуток, то и решением нер-ва (2) тоже будет промежуток - более 3-х решений.
Рассмотрим случай, когда квадратное нер-во (2*) имеет 1 решение. Это возможно, если `D=1-4a=0` => `a=1/4`
Тогда `t=|x-1/4|=1/2`, `x=3/4`, `x=-1/4` - два решения

При этом первое нер-во "превращается" в `(x-1/4)<=0` => `x=1/4` - третье решение.

Ответ: `a=1/4`

[remonortsa2]

к.черный, на мой взгляд, надо еще один нюанс в решении упомянуть, чтобы на ЕГЭ оно получило максимальное количество баллов от проверяющих - привести исследование более простого неравенства (1). Может быть, вот так:

Рассмотрим его как `(x-a)^2 le |a|-a`.

При `a < 0` решением неравенства будет промежуток, т.е. это заведомо больше 3-х решений.
При `a ge 0` получаем двойное неравенство `0 le (x-a)^2 le 0`, которое имеет одно решение `x=a`, в то время как неравенство (2):
-либо не имеет решений (в сумме - одно решение исходной системы)
-либо имеет бесконечно много решений (кол-во решений исходной системы >3)
-либо имеет 2 решения (количество решений = 3).

Т.к. нам необходимо ровно три решения системы, то выбираем и исследуем последний случай.