Можно ли утверждать что число а целое?

[belarusdds]

Действительное число а таково, что числа a) a^2-a и a^3-2a целые. Можно ли утверждать что число а целое?
б) b^2-b и b^3+b
LIX Белорусская мат олимп школьников

@темы: Олимпиадные задачи, Теория чисел

Comments

[belarusdds]

Вариант а) решил . Как доказать б)

[IskanderLocator]

а)Я не знаю как правильно решать, но решал ее только что так:
Пусть а нецелое число. Возведем число в квадрат. Пусть у него, только 1 цифра после запятой. Тогда, в квадрате у этого числа будет 2 цифры после запятой. Чтобы `a^2-a` было целым, надо чтобы у `a^2` было всего 1 цифра после запятой, то есть вторая цифра после запятойй =0. Но если брать произведение всех цифр в квадрате, то они не будут давать результат вида: ` x*x=z*10 `. Потому для первого условия невозможно найти такое нецелое число а. Если же брать, что после запятой у числа ` а ` больше 1 цифры отличной от нуля, то тем более такого не будет.(если не очевидно, то скажете)
Теперь возьмем второе условие. Если мыслить аналогично, то нам надо найти такое цифру которая в кубе дает число вида `y*100` к сожалению ни одна цифра в кубе такой результат не даст
То есть несуществует такого нецелого числа, которое удовлетворяло бы заданным условиям...

ПРоверте мои мысли

[IskanderLocator]

и мои мысли вроде подходят и к б)

[belarusdds]

)))) Не правильно) Ответ говорить не буду на a) Но в варианте a) нельзя утверждать о том что a целое, т к я придумал контрпример)

[IskanderLocator]

ух ты а это уже интереснее... пошел думать...\
belarusdds, пока подумаю, но контрпример ваш немогу придумать.... зациклился... ПОтому пока прервусь

[belarusdds]

Используйте корень квадратный из чего то

[Robot]

belarusdds, для а) я тоже придумала контрпример

[IskanderLocator]

спасибо за подсказку...
Но вроде мои размышления должны покрывать любые числа нецелые

[IskanderLocator]

один я неудачник

[belarusdds]

Robot, интересно узнать Ваш вариант) А по поводу б) есть соображения?)

[Robot]

Мне не особо нравится, как я делала. Не очень красиво математически
Пусть a^2-a=k, k - целое
Тогда `a=(1+-sqrt(1+4k))/2`
и в принципе для случая а) достаточно просто взять, например, k=1 и проверить, что все выполняется.
А в б) подставить во второе выражение и показать, что оно целым при любом k∈Z не будет

[belarusdds]

Robot, Тогда `a=(1+-sqrt(1+4k))/2` = Это Oo как откуда получается Oo я чё то не доехал?

[Robot]

a^2-a=k

a^2-a-k=0
квадратное уравнение

[IskanderLocator]

Robot, а можно ли придумать такое ` a `?

[belarusdds]

Robot, :O О я тормоз))) извеняюсь) спс огромное

[belarusdds]

IskanderLocator, читайте выше. Уже Написали же

[belarusdds]

Так а в случае с б) решаемс так :
b^3+b-k = 0
? А как тут показывать что k целым быть не может?

[IskanderLocator]

все увидел что возможно

[belarusdds]

Robot, В случае б) наоборот должно быть. Там будет целым в любом случае...

[Robot]

Да, я как-то неудачно (неаккуратно) написала в б)
Пусть b^2-b и b^3+b -целые, предположим, что b - нецелое,
тогда из b=(1+-sqrt(1+4k))/2 следует, что sqrt(1+4k) - иррациональное (надо обосновывать)

И вот тогда при любом целом k, при котором это выполняется, b^3+b не будет целым

Вообще надо проверять, время позднее
Завтра еще подумаем.

[belarusdds]

Кстати решается так:
пусть 1ое что дано равно n которое целое и 2ое что дано равно m -тоже целому тогда приравниваем обе части друг к другу там сокращаем группируем и т.д. и оттуда доказываем всё, что надо.

[Robot]

belarusdds, не очень понятно
Почему приравниваем? Разве эти числа равны?

И решаться может по-разному

[belarusdds]

Robot, b^2-b=m и b^3+b=n
b^2-b-m=0
b^3+b-n=0
=> b^2-b-m=b^3+b-n
и отсюда там вроде что то такое получится b = (m-n)/2-n
получается всегда целое, т.к m и n целые