Предел

[Rus-Kira]

`lim_(x->0)((root(m)(1+alphax)*root(n)(1+betax)-1)/x)`

Полагаю надо здесь эквивалентность применить как то и свести к задаче `lim_(x->0)((root(m)(1+alphax)-1)/x)` но что то не пойму как..

@темы: Пределы

Comments

[Alidoro]

Заменить `root(m)(1+alpha x)=1+(alpha x)/m+o(alpha x)`,    `root(n)(1+beta x)=1+(beta x)/n+o(beta x)` и раскрыть скобки.

[Rus-Kira]

Не очень понимаю, если честно, откуда эти равенства так появились...(

[Alidoro]

Теорема Лагранжа или формула конечных приращений. Второе равенство по этой же теореме.

[Alidoro]

Точнее говоря, это следствие теоремы Лагранжа.

[Rus-Kira]

А мы ее не проходили по программе еще, значит ею пользоваться нельзя вроде как...

[_ТошА_]

Если формулу Тейлора не проходили, то нужно похитрить. Но не очень и хитро похитрить.
`[root(m)(1 + alpha*(x))*root(n)(1 + beta*(x)) - 1]/x = [root(n)(1 + beta*(x))*(root(m)(1 + alpha*(x)) - 1) + (root(n)(1 + beta*(x) - 1))]/x`
А теперь разбить на 2 предела и применить эквиваленты. Естественно, понимая, почему это можно делать

[Epygraph]

Предлагаю вычесть и прибавить в числителе один из перемножаемых корней, затем представить предел как предел суммы. Предел каждого слагаемого найти с помощью `(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x` при `x\to 0`.

[_ТошА_]

Epygraph,

[Rus-Kira]

Alidoro, аа, понял вас, формулы Тейлора с остаточным членом, как то так у меня в тетради записано, но нам это не доказывали, а просто дали и все, поэтому я и не знаю можно ли этим вообще пользоваться поэтому...

Epygraph, _ТошА_, тут же тоже эти эквиваленты нужно использовать.. А они отдельно же будут доказываться, правильно?

[_ТошА_]

Rus-Kira, А вы не знаете эквиваленты? Эпиграф выше привёл пример

[Alidoro]

Я думал, что Лагранжа доказывают раньше Тейлора.
Если второй замечательный доказан, то доказать ваши эквиваленты уже просто. При помощи замены.

[Epygraph]

тут же тоже эти эквиваленты нужно использовать.. А они отдельно же будут доказываться, правильно?

Что, нельзя эквивалентность использовать? Можно тогда на сопряженное умножать `a-b=\frac{a^n-b^n}{a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}}`.

[Rus-Kira]

А вы не знаете эквиваленты?

Ну нам их в эту субботу дали как таблицу. Интуитивно они понятны, конечно, но доказательство не приводили точного просто.

Если второй замечательный доказан

Доказан =)

[Epygraph]

Ну нам их в эту субботу дали как таблицу. Интуитивно они понятны, конечно, но доказательство не приводили точного просто.

`(1+x)^\alpha-1=e^{\alpha \ln (1+x)}-1\sim \alpha \ln (1+x)\sim \alpha x` при `x\to 0`.

[Rus-Kira]

Все, с сопряженным я доделал) Сразу так пытался но сначала понять не могу как от произведения избавиться, которое в формуле у _ТошА_, в правой части, но забыл что там единица вылезет в итоге, в общем решил)
Только эквивалентами я так и не дорешал пока что..

[Epygraph]

И, наверно, анонсирована непрерывность всех элементарных функций и возможность переходить к пределу под знаком непрерывных функций.

[_ТошА_]

Сопряжённымимуторно. Эквивалентности - см. Эпиграф

[Rus-Kira]

Epygraph, сегодня непрерывность, монотонность была)

[Rus-Kira]

Да, с эквивалентностью тоже дорешал все, понял тоже, спасибо)

[Rus-Kira]

И да, с эквивалентами действительно проще получается)

[_ТошА_]

Разве что нужно понимать, почему ими можно пользоваться и почему можно разбивать на 2 предела

[Rus-Kira]

Потому что `x->0`? B можно разбивать т.к. пределы существуют и мы доказывали утверждения что предел суммы равен сумме пределов..

[_ТошА_]

Rus-Kira, Чтобы пользоваться эквивалентами, не важно куда стремится х. Важно, к чему идёт аргумент функции, к которой применяется эквивалент.
Второе да

[Rus-Kira]

Ну я об этом, да) Я просто говорил об общем виде, имея ввиду аргумент) Ясно, спасибо, стало понятнее теперь что да как)