Пределы

[Afu-Ra]

Здравствуйте помогите с задачками. Проверьте пожалуйста, нет ли ошибок и правильно ли я оформляю.
Спасибо.


Найти пределы, если они существуют:

1) `lim_(x->4)sin(x-4)/(sqrt(x)-2)`

2) `lim_(x->oo)((4x+5)/(4x-9))^(x+3)`


1)

1) Решение

`lim_(x->4)sin(x-4)/(sqrt(x)-2) = [0/0]`

`sin(x-4) iff x-4` `=>`

`lim_(x->4)sin(x-4)/(sqrt(x)-2) = lim_(x->4)(x-4)/(sqrt(x)-2) = lim_(x->4)((sqrt(x)-2)(sqrt(x)+2))/(sqrt(x)-2) =`

`lim_(x->4)(sqrt(x)+2)=4`


2)

2) Решение

`lim_(x->oo)((4x+5)/(4x-9))^(x+3) = [1^oo] = lim_(x->oo)((4x-9+14)/(4x-9))^(x+3) = lim_(x->oo)(1+14/(4x-9))^(x+3) =`

`lim_(x->oo)[(1+14/(4x-9))^((4x-9)/14)]^((14(x+3))/(4x-9)) = e^(lim_(x->oo)(14x+42)/(4x-9)) = e^(lim_(x->oo)(14x)/(4x)) = e^(7/4)`

@темы: Пределы

Comments

[к.черный]

`14/4=7/2`

в остальном, вроде, правильно.
В первом можно и через 1-й замечательный

[Afu-Ra]

Да `e^(7/2)`, ошибся случайно.

Подскажите как через 1-й замечательный решать, а то я не могу что-то сообразить.

[к.черный]

домножить выражение на сопряженное знаменателю и выделить `sint/t` при t -> 0

[Afu-Ra]

`lim_(x->4)sin(x-4)/(sqrt(x)-2) = lim_(x->4)(sin(x-4)*(sqrt(x)+2))/(x-4)`

`t=x-4` `=>` `lim_(t->0)(sint/t)*(sqrt(t+4)+2) = lim_(t->0)(sqrt(t+4)+2) = 4`

Вроде так.

[к.черный]

[Epygraph]

1) Как известно, при вычислении пределов сомножители можно заменять на эквивалентные. В частности, синус бесконечно малого аргумента эквивалентен своему аргументу, а имеющая ненулевой предел функция эквивалентна этому пределу. Отсюда `sin(x-4)\sim (x-4)` при `x\to 4`, `sqrt(x)-2=(x-4)/(sqrt(x)+2)\sim (x-4)/4`при `x\to 4`. После замены эквивалентных сомножителей сразу получается ответ.

2) Переход к пределу в каком-то компоненте функции, стоящей под знаком предела, требует обоснования. Ведь так можно получить и `\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n=\lim_{n\to\infty}(1+0)^n=1`.

Применяя основное логарифмическое тождество, получаем
`\lim_{x\to\infty}((4x+5)/(4x-9))^(x+3)=\lim_{x\to\infty}e^{\ln((4x+5)/(4x-9))^(x+3)}=\lim_{x\to\infty}e^{(x+3)\ln((4x+5)/(4x-9))}`.
Используя непрерывность функции `y=e^x` переходим к пределу показателя степени
`\lim_{x\to\infty}e^{(x+3)\ln((4x+5)/(4x-9))}=e^{\lim_{x\to\infty}(x+3)\ln((4x+5)/(4x-9))}=e^L`.
Далее замена эквивалентных сомножителей `x+3\sim x` при `x\to \infty`, `\ln((4x+5)/(4x-9))=\ln(1+(4x+5)/(4x-9)-1)\sim (4x+5)/(4x-9)-1=(14)/(4x-9)\sim (14)/(4x)=7/(2x)` при `x\to \infty`. На последнем шаге применяется известное соотношение `\ln(1+x)\sim x` при `x\to 0`.

После замены эквивалентных сомножителей сразу получается `L=7/2` и ответ `e^(7/2)`.

[Afu-Ra]

Мне надо 2) пример как-то по другому оформить? Мое решение не сойдет?

Я же указал неопределенность `[1^oo]` и решал через второй замечательный предел. Мне надо еще что-то обосновать в решении?

[к.черный]

мне кажется, у вас нормальное решение

[Afu-Ra]

Я понял, что можно по-другому решать. Но 2) пример вроде лучше же решать через 2-й замечательный предел.

[Afu-Ra]

Спасибо за помощь.

[Epygraph]

Afu-Ra

Мне надо 2) пример как-то по другому оформить? Мое решение не сойдет?

Я же указал неопределенность `[1^oo]` и решал через второй замечательный предел. Мне надо еще что-то обосновать в решении?

к.черный
span class='quote_text'>мне кажется, у вас нормальное решение

Выражение `lim_(x->oo)[(1+14/(4x-9))^((4x-9)/14)]^((14(x+3))/(4x-9))` заменяется на `e^(lim_(x->oo)(14x+42)/(4x-9))`. Получается, что в двух частях одного многоэтажного выражения вычисляются два отдельных предела. Один где-то на первых этажах, другой где-то на последних этажах. Школьников и студентов часто учат именно так вычислять пределы выражений с переменным основанием и переменным показателем степени. Там, где могли бы строго обосновать данную процедуру, скорее всего, вообще её не применяют, а применяют основное логарифмическое тождество и свойство непрерывности экспоненты.

Afu-Ra Если именно так Вас учат "решать через второй замечательный предел" и, вообще, у Вас на тонкости не принято обращать внимание, то "у вас нормальное решение".

[к.черный]

Epygraph, пример из Соболя "Практикум по высшей математике"

[Epygraph]

Epygraph

Школьников и студентов часто учат именно так вычислять пределы выражений с переменным основанием и переменным показателем степени.

к.черный

Epygraph, пример из Соболя "Практикум по высшей математике"

Почти все студенты, "решающие через второй замечательный предел" рассмотренную выше задачу Afu-Ra , в случае пределов с неопределенностью типа `\infty^0` или `0^0` продолжают "решать через второй замечательный предел" с катастрофическими последствиями. А основное логарифмическое тождество и свойство непрерывности экспоненты позволяет единообразно (и осознанно) решать все подобные задачи.

[_ТошА_]

обосновать данную процедуру

но это довольно муторно. обосновывать существование предела, а потом брать подпоследовательность (аналог замены переменной)

[Afu-Ra]

У меня в методичке переход идет сразу, поэтому я ,наверно, буду решать без док-ва и сразу переходить. Спасибо за помощь.