Ещё один мальенький вопрос:

[Phaust94]

доказать ,что функция `f(x,y)=(xy)/(sqrt(x^2+y^2))` при `x^2+y^2!=0` и `f(0,0)=0` непрерывна в точке `(0,0)`. Моё решение внутри:
Доказываю по определению:
`AA epsilon>0 EE delta_epsilon>0 AA (x,y): |x| ``<``delta ^^ |y|``<``delta ->|f(x,y)|<epsilon`
`|f(x,y)|=|(xy)/(sqrt(x^2+y^2))|``<``(delta*delta)/(max{|x|,|y|})=delta^2/m=epsilon`
Тогда выберем `delta=sqrt(epsilon*m)`, где `m=max{|x|,|y|}`
Так можно сделать ? Я по поводу `m` волнуюсь!

@темы: Математический анализ, Функции нескольких переменных

Comments

[Phaust94]

Просьба читать моё доказательство, а не писать "проще найти предел" !

[Epygraph]

C помощью полярных координат легко получить неравенство `|f(x,y)|\le \rho=\sqrt{x^2+y^2}`

[_ТошА_]

Просьба читать моё доказательство, а не писать "проще найти предел" !

в принципе верно. Но там в неравенстве должно быть не просто меньше, а меньше или равно. Так что в конце ещё придётся повозиться чуть

[Phaust94]

так как х не равно 0, как и у, то можно писать строго больше! или нет ?
просто
www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28x%5E2%2By%...

[Phaust94]

а там обычно в определениях норма строго больше нуля!

[_ТошА_]

х, как и у, вполне могут равняться нулю. В определении непрерывности нет проколотой окресности

[Phaust94]

ru.wikipedia.org/wiki/Непрерывная_функция

в отрицание непрерывности смотрите

ru.wikipedia.org/wiki/Предел_функции

и тут тоже!

и нас точно так же учили!

[Epygraph]

в отрицание непрерывности смотрите

1) Если убрать левое неравенство в условии `0<|x-x_0|<\delta`, то ничего существенного с определением непрерывности или разрывности в точке `x_0` не случится (эквивалентные утверждения)
2) В случае двух переменных условие 0<|(x,y)| не исключает условие `x=0` или `y=0`.

[Phaust94]

исключает! возьмём по Чебышевской норме `|{(x,y)}|=max(|x|,|y|)>0=>|x|>0 or|y|>0`

[Phaust94]

тогда так:
`|(xy)/(sqrt(x^2+y^2))|<=|(xy)/|x||=|y|``<``delta=epsilon`при `|x|>0` и аналогично с игреком при `|y|>0`

[_ТошА_]

Phaust94, вы знаете, я бы не советовал учить математику по Википедии.

и тут тоже!

и нас точно так же учили!

Я чрезвычайно рад за вас. Но прочтите ещё раз своё определение. Вы написали исходное, стандартное определение непрерывности (оно верное, но в вашем определении x и y могут быть нулями).
Из этого определения выводится следствие (которое можно принять и за определение), что эквивалентная формулировка непрерывности: предел равен значению. Однако в пределе существенно (вы же вроде себя образованным человеком позиционируете, наверное понимаете почему), что окрестность проколота.
Так вот выберите то определение, по которому доказываете. Либо возиться с нулями - либо нет

[Phaust94]

ага. я понял, спасибо. с нулями возиться не будем, скажем, что предел равен значению! так вот тогда по определению предела всё будет гут!
и по поводу Вики - это единственный хоть сколько-нибудь авторитетный источник, ибо мои конспекты не катят )))
как раз, кстати, задался вопросом существенности проколотых окрестностей!
ну, в общем, спасибо Вам за совет! и да, извините, что я, возможно, был резок- пыл, молодость, горячность - 17 лет, знания мат.анализа так и прут !))) *иронизирую*
и да, я спорил, пытаясь доказать .чтобы найти истину, не примите за неуважение, ок ?

[_ТошА_]

не за что