Здравствуйте! вопрос по матану:

[Phaust94]

Показать ,что функция `f(x,y)=(x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2))` при `x^2+y^2!=0` и `f(0,0)=0` имеет в окрестности точки `(0,0)` частные производные `(partial f)/(partial x)` и `(partial f)/(partial y)`, которые разрывны в точке `(0,0)` и неограниченны в любой окрестности её; тем не менее, функция дифференцируема в точке `(0,0)`
Моё решение:
Находим частную производную :
`(partial f)/(partial x)=2x(sin(1/(x^2+y^2))-cos(1/(x^2+y^2))/((x^2+y^2)))`
`lim_(x->0,y->0)(partial f)/(partial x)=lim_(r->0)(2rsin(1/r^2)*cos(phi)-cos(phi)*cos(1/r^2)/r)=infty`
значит, частные производные функции разрывны и неограниченны в любой окрестности.
Это так ?
дальше, по поводу дифференцируемости:
необходимо, чтобы приращение функции представлялось в виде `Delta f=Ax+By+o^(-)(||sqrt(x^2+y^2)||)`, т.е.
`lim_(x->0,y->0)(f(x,y)-Ax-By)/(sqrt(x^2+y^2))=lim_(r->0)(r*sin(1/r^2)-Acos(phi)-Bsin(phi))`
но он у меня что-то нулю не равен, то есть, вообще не существует! ((
Где я ошибаюсь ?

@темы: Математический анализ, Функции нескольких переменных

Comments

[_ТошА_]

значит, частные производные функции разрывны и неограниченны в любой окрестности.

Даже последний предел был лишним.

Частные производные ф-ии в точке (0, 0) вычислите

[Phaust94]

`(partial f(0,0))/(partial x)=2x*sin(1/x^2)-2/x*cos(1/x^2)|_(x=0)=infty`
c `y` то же самое. Верно?

[_ТошА_]

это не так. вычислить придётся по определению.
и ваша последняя запись после

т.е.

неверна

[Phaust94]

а что неверно после т.е. ? я перенёс влево и по определению о-малого!

[Phaust94]

и по какому определению ? частной производной ? так это и есть производная функции одной переменной с фиксированными остальными !

[Epygraph]

Учтите, что предел произведения бесконечно малой функции на ограниченную функцию равен нулю (даже если ограниченный сомножитель предела не имеет).

[Phaust94]

Это понятно. но что делать с вычислением частной производной по определению(как сказал _ТошА_) и где я ошибаюсь в определении о-малого ? или где?

[_ТошА_]

Phaust94, вот и вычислите частную производную по определению. У неё определение не такое, что написали вы.

я перенёс влево и по определению о-малого!

а как приращение превратилось в функцию?

[Phaust94]

Def: Пусть `x_0 in D` -внутренняя точка, `y=f(x)`,`g_k(x)=f(x_1^0,x_2^0,...,x_(k-1)^0,x_k,x_(k+1)^0,...,x_n^0)`
`(partial f(x_0))/(partial x)=g_k^'(x_0)`

[Phaust94]

приращение равно функции, так как `f(0,0)=0` , a `Delta f=f(x,y)-f(x_0,y_0)`

[_ТошА_]

`f(x, y) = (x^2 + y^2)sin(1/(x^2 + y^2))`
`partial(f(x_0, y_0))/(partial x) = lim_(x->x_0) (f(x, y_0) - f(x_0, y_0))/(x - x_0)`

[_ТошА_]

приращение равно функции

а, хорошо, я не смотрел на функцию

[Phaust94]

о, спасибо, 0 получился и тогда там нет ни А ни В и там действительно о-малое, т.е. предел равен нулю. кстати, определение у меня то же самое, только чуть по другому написано! спасибо Вам огромное, теперь я понял!

[_ТошА_]

кстати, определение у меня то же самое, только чуть по другому написано!

естественно то же самое. Просто вы откровенно отказывались писать определение, вы пишите способ вычисления.

[Phaust94]

как же, запись от 18:50
я просто только думал, что производную тоже можно ещё больше по определению расписать!

[_ТошА_]

как же, запись от 18:50

это способ вычисления

[Phaust94]

в нашем курсе это читалось как определение, вы уж простите! но если эту производную дальше расписывать, тогда будет всё понятно!

[_ТошА_]

в нашем курсе это читалось как определение

бывает