С6.68 (Корянов, Прокофьев - 2011)

[Новый гость]

`TZ`
Решить уравнение целых положительных числах:
`2x^2-xy-y^2+2x+7y=84`.
[[/TZ]]

Помогите, пожалуйста, найти ошибку:

`{(2x^2-xy-y^2+2x+7y=84),(x in NN),(y in NN):}`.
`2x^2+(2-y)x-y^2+7y-84+a=a`,
`D=(2-y)^2-4*2*(-y^2+7y-84+a)=` `y^2-4y+4+8y^2-56y+672-8a=` `9y^2+60y+676-8a=` `(3y)^2+2*3y*10+10^2+576-8a`.
Чтобы дискриминант был полным квадратом, нужно, чтобы
`576-8a=0`,
`a=72`.
`sqrtD=3y+10`,
`x_1=(y-2-3y-10)/4=(-2y-12)/4=-1/2 y-3`,
`x_2=(y-2+3y+10)/4=(4y+8)/4=y+2`.
`2(x+1/2 y+3)(x-y-2)=72`,
`(2x+y+6)(x-y-2)=72`.
Т.к. `x >= 1` и `y >= 1`, то `2x+y+6 >= 9`.
I. `{(2x+y+6=12),(x-y-2=6):}`, `{(3x+4=18),(x-y-2=6):}`, `x=14/3 !in NN`.
II. `{(2x+y+6=18),(x-y-2=4):}`, `{(3x+4=22),(y=x-6):}`, `{(x=6),(y=0 !in NN)`.
III. `{(2x+y+6=24),(x-y-2=3):}`, `{(3x+4=27),(x-y-2=3):}`, `{(x=8),(y=3):}`.
IV. `{(2x+y+6=36),(x-y-2=2):}`, `{(3x+4=38),(x-y-2=2):}`, `x=34/3 !in NN`.
V. `{(2x+y+6=72),(x-y-2=1):}`, `{(3x+4=73),(y=x-3):}`, `{(x=23),(y=20):}`.
Ответ: `(8; 3)`, `(23; 20)`.

Ответ неверный. Помогите, пожалуйста. Даже когда печатал, не нашёл ошибку.

@темы: Олимпиадные задачи, ЕГЭ, Теория чисел

Comments

[Robot]

Там дискриминант (3y-10)^2
(вместо -60у ошибочно вдруг написано +60у)

[FirstAID]

а какой верный ответ ?

[Новый гость]

Всё понял, спасибо. Почему-то, когда проверял, взгляд скользил по написанному и ничего не выявлял.

[Robot]

А я поняла, что смотреть бесполезно
Просто надо перерешивать заново
Я лично просто решала сама, а не проверяла решение (правда, смотрела - совпадает ли - на каждом шаге)

[FirstAID]

А как доказать , что кроме а=25 у уравнения ` (3y-10)^2=(a-24)(a+24) `в целых числах нет решения ? Или они есть ?

[Новый гость]

а какой верный ответ ?

`(13;14)` и `(6;1)`

[Новый гость]

FirstAID Не совсем понял, о чём речь. Эта задача - на метод введения параметра для того, чтобы дискриминант был полным квадратом.

[FirstAID]

Я по-другому решал :
`2x^2+x(2-y)-y+7y^2-84=0 `
`D= (3y-10)^2+24^2=a^2 `
`(3y-10)^2=(a-24)(a+24) `

[FirstAID]

дальше тупик

[Robot]

А зачем так?
Ну, тогда уж, наверное, раскладывать
(3y-10)^2-a^2=576
Но это ж сколько надо случаев