Мат.лог. (множества)

[Диран]

1. Определить мощность множеств:
1.1.Множество всех линейных операторов в R3

мысли по поводу

Мы можем сопоставить лин.оператору матрицу 3х3, в ней могут содержаться любые числа (вещественные) - т.е. у нас есть множество матриц фиксированного размера, у которой элементы из континуального множества. Вместо таких матриц можно рассмотреть конечные последовательности (9 элементов) в бесконечном алфавите. Дальше по всем веткам - тупик(
1.2.Множество всех плоскостей, содержащих хотя бы три точки с рац.координатами

мысли по поводу

Сначала была мысль рассматривать плоскости где только три точки имеют рац.коорд, потом 4, 5 и т.д... рассматривать вместо плоскости эти точки - матрицы, такие мн-ва счетны, счетное объединение счетных мн-в - выходим на ответ.
Но, есть большое но - а есть ли вообще такие плоскости, у которых только 3, 4, 5... точек с рац.коэфициентами? И можем ли мы гарантировать, что для любого N будет существовать плоскость только с N такими точками? Если нет - то нужно вообще как-то по-другому решать(

2. Выяснить, разрешимо ли множество:
A={n - натуральное|fn(1)=f1(n)}
n-номер программы на машине тьюринга
fn-функция, которую вычисляет программа с номером n
f1-функция, которую вычисляет программа с номером 1

мысли по поводу

Была мысль в сторону теоремы Райса, но она здесь неприменима.

@темы: Математическая логика, Множества

Comments

[Epygraph]

1) Можно ли Вам пользоваться теоремой о равномощности двух множеств, каждое из которых равномощно подмножеству другого?
1.1 Обычно доказывается сначала равномощность `(0,1)` и `(0,1)\times (0,1)`, а затем уже получается равномощность `R` и `R^n`. В данной задаче фактически речь идет о мощности `R^9`.
1.2 Среди плоскостей с рациональными точками, находятся все плоскости с уравнением вида `ax+by=0`, где `a,b\in R`, кроме `(a,b)=(0,0)`. Отсюда следует, что мощность данного множества не меньше континуума. В тоже время, данное множество можно отождествить с подмножеством `R^4`, у которого мощность континуум.

[Диран]

Можно всем чем угодно, просто надо будет эту теорему объяснить, т.к. в курсе ее не было, но ее-то уж я найду где-нибудь и с этим справлюсь.
С первым ясно, спасибо!
По поводу второго - как объяснить, что плоскости такого вида (задаваемые уравнением ах+by=0) образуют континуальное мн-во? Так же, как в первой задаче, сказать, что что по параметрам а и b мы получаем R^2?

[Epygraph]

Так же, как в первой задаче, сказать, что что по параметрам а и b мы получаем R^2?

Есть небольшая тонкость: пропорциональные уравнения задают одну плоскость. Надо указать континуальное множество пар `(a,b)` , для которых плоскости разные. Например, `a=\cos t,b=\sin t`, где `t\in (0,\pi)`.

[inquarto]

1.2
Epygraph ,

Отсюда следует, что мощность данного множества не меньше континуума.

Нет, если в условиях "три разные точки"!!!
Три разные точки однозначно задают плоскость.
Выбрать три разные точки с рац. координатами (~ `Q^9` ~ Q не ~ R ) можно только счётным числом способов, а никак не континуальным.
То есть разных плоскостей не более, чем счётно. А ещё точнее - счётно.

Если написать уравнение произвольной плоскости x+b*y+c*z+d=0, a=1, то подставив на место x, y, z координаты сначала первой, потом второй и третьей из трёх точек с рац. координатами, получим три уравнения с неизвестными b, c, d
x1+b*y1+c*z1+d=0
x2+b*y2+c*z2+d=0
x3+b*y3+c*z3+d=0
Решая их, получим, что b, c, d - рациональны.

[Epygraph]

Нет, если в условиях "три разные точки"!!!

Если три точки лежат на одной прямой, то плоскостей можно провести континуум.

Решая их, получим, что b, c, d - рациональны.

Уравнению `ax+by=0` удовлетворяют любые точки вида `(0,0,z)`. Среди них есть три рациональные точки.

[inquarto]

Если три точки лежат на одной прямой, то плоскостей можно провести континуум.
Да, признаю свою ошибку.
Значит к условиям надо добавлять "не лежат на одной прямой".

[w99w]

(Ā˅В)˄В→х+5˂у˄А≡В, де А=0; В=1; х=8; у=3

[w99w]

помогите решить вот такой вопрос