Прошу помочь с ТФКП

[mishiuss]

Вот несколько задачек по ТФКП. Проверьте пожалуйста первые три номера. А с последним что-то никак не могу разобраться -имеем 4 особых точки, получаем 3 области в которых можем разложить в ряд лорана...В каждом из этих колец будет свое разложение? и как представить дробь чтобы применить известные формулы для разложения рядов?

№1. Указать все особые точки ф-ии и определить их характер :
cos((1/z)+2*i)

№2. Найти вычеты функции
(cos(z))/((z^2)+1)^2

№3. Вычислить интеграл (а>0 и b>0)

int_0^inf (x*sin(a*x))dx/(x^2 + b^2)

№4. Разложить в ряд Лорана по степеням z

1/(z^2 + 1)*(z^2 - 4)

Мои решения :





сдаю решения завтра

утром до 11:00 еще жду комментариев...надеюсь, кто-нибудь посмотрит...

@темы: ТФКП

Comments

[Epygraph]

4) Начните с разложения функции в сумму простейших дробей. Затем каждую дробь в зависимости от расположения особых точек разложите либо по степеням `z`, либо по степеням `1/z`. На этой неделе обсуждалась подобная задача и был указан решебник с такими задачами.

[mishiuss]

Epygraph только я что-то запуталась вот с чем - если мы рассматриваем какую-нибудь одну окрестность точки,пусть точки z=0, мы получим в трех областях все равно разные разложения?

[Epygraph]

мы получим в трех областях все равно разные разложения

Например, `f(z)=\frac{1}{z-2}` в окрестности нуля `|z|<2` имеет разложение `\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-z/2}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} (-z/2)^n`. При `|z|>2` ряд, сходящийся к той же функции, надо организовать из степеней `1/z`, полагая `f(z)=\frac{1}{z}\frac{1}{1-2/z}`.


Щелкните мышью в начале этой страницы, где

@темы: ТФКП

И сразу увидите разбор похожей задачи.

[mishiuss]

Epygraph так, мы это делаем чтобы можно было применить формулу геом. прогрессии, где каждый член должен быть меньше 1...Ну тогда сейчас буду пытаться разложить на простейшие дроби. нельзя же оставить в знаменателе (z^2 + 1 ) и так выполнять разложение? надо обязательно через мнимые единицы представить скобку?

[mishiuss]

Epygraph вот, проверьте пожалуйста :

[Epygraph]

Epygraph вот, проверьте пожалуйста :

В данной задаче можно сохранить `z^2` в дробях `f(z)=\frac{1}{5}(\frac{1}{z^2-4}-\frac{1}{z^2+1})`, рассматривая выделенные Вами три области `|z|<1`,`1<|z|<2`,`|z|>2`. Функция `f` четная, поэтому в разложения будут входить только четные степени. Посмотрите на Ваш ответ. Там при нечетных показателях степени слагаемые действительно получаются равными нулю. Получите теперь ответ для дробей с `z^2` и сравните с первым ответом.

[mishiuss]

Epygraph действительно, я ошиблась когда за скобки выносила....а вот в предыдущей строчке похоже правильный ответ
спасибо большое за помощь!