вычислить площадь фигуры ограниченной данными линиями

[Dakolla]

помогите пожалуйста вычислить площадь фигуры ограниченной данными линиями
вот линии
`y^2-1-x ; x+3=0`

точки пересечения (-3;2) и (-3;-2)

я не пойму какие будут верхний и нижний предел интеграла если в пересечении оба икса равны -3

подскажите пожалуйста как быть

@темы: Интегралы

Comments

[Robot]

Здесь можно было не искать координаты точек пересечения
Пределы будут от -3 до 1
Надо взять верхнюю половинку области , найти ее площадь, а потом удвоить

[Dakolla]

а это как?

[Robot]

[Robot]

Только в этом случае вам придется записать в виде функции y=f(x) верхнюю часть параболы.

Существует еще вариант с интегрированием по у.

[Dakolla]

спасибо
я просто не знаю как по отдельности половинки считать
вот я беру интеграл с `int_-3^1` а там какое уравнение писать?
а нельзя сразу не пополовинкам сделать?

[Robot]

Можно и сразу не по половинкам.
Тогда вам нужно написать уравнение верхней и нижней ветви параболы
Вот у вас `y^2=1-x`
чему равно у для верхней ветви - выразите из уравнения

[Dakolla]

`sqrt(1-x)` ?

[Robot]

Да, а для нижней?

[Dakolla]

`-sqrt(1-x)` так

[Robot]

Так, а теперь используйте формулу
`int_-3^1(f_1(x)-f_2(x))dx`

[Dakolla]

`int_-3^1 (sqrt(1-x)-(-sqrt(1-x))dx` вот так будет?

[Robot]

Да

[Dakolla]

спасибо вам большое, час дорешу выложу, тут `sqrt(1-x)` надо будет через t выразить же да?

[Robot]

Заменой или внесением под знак дифференциала
Только я бы замену вводила t=1-x
dx=-dt

[Dakolla]

спасибо так и сделаю

[Dakolla]

так значит `int_-3^1 sqrt(1-x)-(-sqrt(1-x))dx`
`intsqrt(1-x)+sqrt(1-x))dx = int2sqrt(1-x)dx = 2intsqrt(1-x)dx`
заменяем
t=1-x
x=1-t
dt=-dx

`-2intsqrt(t)dt = -2 x^(1/2+1)/(1/2+1) = -4/3t^(3/2) = -4/3 sqrt((1-x)^3) |_-3^1 = -4/3sqrt((1-1)^3) + 4/3sqrt((1-(-3))^3)=`
` 0+(4/3)*8=32/3`

[Robot]

Да, все так.

[Dakolla]

спасибо вам большое.
все кажется математику доделал))))

[Robot]

Пожалуйста)

И второй вариант

Существует еще вариант с интегрированием по у.

© Robot

Для него надобно сместить параболу с прямой вправо на три единицы (т.е. сместить всю фигуру, от перемещения (правильнее сказать, параллельного переноса) фигуры ее площадь не меняется), чтобы вертикальная прямая совпала с осью `Oy` (ведь геометрический смысл интеграла — площадь до координатной оси; можно, конечно, еще к интегралы что-то добавлять-вычитать, но так, по-моему, попроще для понимания), получим функцию `y^2=1-(x-3)`, откуда `x=4-y^2`.
Границы интегрирования по `y` от `-2` до `2`, площадь равна:
`S=int_(-2)^2 x(y) dy = int_(-2)^2 (4-y^2) dy=(4y -y^3/3) |_(-2)^2 =16-8/3-8/3=(48-16)/3=32/3`.

[Dakolla]

спасибо