2 семестр. Интегралы. Обобщенная первообразная.

[Николь1]

Помогите, пожалуйста, разобраться с обобщенной первообразной интеграла int dx/(2+sin(x))^2
вычисляя этот интеграл получаю ответ (tg(x/2)+2)/(6*(tg(x/2)^2+tg(x/2)+1)) + 4/3*sqrt(3) * arctg (2*tg(x/2)+1/sqrt(3))
этот интеграл является классической первообразной на R/{-+pi+2pi*k}
а с обобщенной разобраться не могу =(
Заранее благодарна)

@темы: Математический анализ, Интегралы

Comments

[Epygraph]

На промежутках с границами в указанных Вами точках надо для каждого `k\in Z` выбрать константу интегрирования `C_k` так, чтобы функция была непрерывна в граничных точках этих промежутков. Так сделать заведомо можно, поскольку Вы интегрируете непрерывную на всей прямой функцию и у неё есть определенные на всей прямой первообразные.

В результате Вы получите обычную первообразную, только она потребовала тщательного "склеивания".

[Alidoro]

В учебнике можно посмотреть reslib.com/book/Kurs_matematicheskogo_analiza__...

[Николь1]

ЭММ... если честно, плохо понимаю....я пыталась составить систему, а потом т.к функция непрерывна, то посчитала пределы в граниных точках. а потом рассматривала промежуток и в силу непрерыноссти функции, и по теореме о функции верхнего предела, получалось что функция обладает и классич. и обобщ. первообразной...так действовать нельзя?

[Николь1]

Спасибо за ссылочку на учебник) сейчас займусь его изучением)

[Alidoro]

Похоже, что интеграл у вас взят с ошибкой wolframalpha дает



Здесь `tan = tg` а `tan^(-1)=arctg`



Вот, пилу на графике вы должны превратить в непрерывную возрастающую функцию.

[Николь1]

не синус в квадрате, а весь знаменатель в квадрате....у меня должно быть правильно..

[Epygraph]

т.к функция непрерывна, то посчитала пределы в граниных точках

Написанное Вами выражение (tg(x/2)+2)/(6*(tg(x/2)^2+tg(x/2)+1)) + 4/3*sqrt(3) * arctg (2*tg(x/2)+1/sqrt(3)) определяет функцию с разрывами первого рода в указанных Вами точках. Процедура "склеивания" устраняет эти разрывы.

[Николь1]

мда... точки разрыва я не учла....
теоритически я ваш вариант поняла...но как мне практически выбрать константу?

[Alidoro]

Я просто скопипастил ваш интеграл из вопроса. Не знаю почему получилось с ошибкой.

[Alidoro]

как мне практически выбрать константу?

Это будет кусочная константа. Ее нужно конструировать с помощью функции "целая часть" или []

[Epygraph]

Пусть `P` есть предел найденной Вами функции при `x\to \pi-`, `Q` есть предел найденной Вами функции при `x\to \pi+`. Тогда константы связаны соотношением `C_k+P=C_(k+1)+Q` или `C_(k+1)=C_k+P-Q`, арифметическая прогрессия. `C_0` можно взять произвольно.

[Николь1]

а как ее превратить в непрерывную возрастающую фунцкию?

[Epygraph]

а как ее превратить в непрерывную возрастающую фунцкию?

Склеенная функция автоматически обладает этими свойствами.

[Николь1]

мм...а она будет автоматически обладать непрерывность по какой-то теореме?) или я чего-то совсем в этой жизни не понимаю)

[Николь1]

что такое []?
ии.....
я не разу в матанализе целую часть не брала...так можно?

[Alidoro]

Целая часть числа просто поможет проще записать обобщенную первообразную в виде одной формулы. Можно обойтись и без нее, тогда первообразная будет задаваться с разной константой которая зависит от диапазона, на котором находится `x`, то есть придется приписывать пояснения словами.

[Николь1]

похоже на правду?

[Alidoro]

Да, именно в такой форме. В само содержание не вникал.

[Николь1]

а можно содержание проверить?

[Николь1]

[Epygraph]

мм...а она будет автоматически обладать непрерывность по какой-то теореме?) или я чего-то совсем в этой жизни не понимаю)

Не по теореме, а по построению. Возрастать будет "по теореме", поскольку её производная=исходная функция положительна.

Окончательная проверка остаётся за Вами.

[Николь1]

Спасибо)

[Николь1]

я поняла!!! функция у нас будет такая по теореме об интеграле как функции верхнего предела, да?

[Epygraph]

я поняла!!! функция у нас будет такая по теореме об интеграле как функции верхнего предела, да?

Есть такая уважаемая теорема. Из неё следует, что непрерывные функции имеют первообразные (тот самый интеграл). Но в данной задаче используется лишь упомянутое следствие, есть уверенность в победе (из первообразных на последовательности промежутков можно склеить первообразную на всей прямой). Склеенная функция по построению непрерывна и по природе дифференцируема всюду, кроме, может быть, указанных точек. Разность такой функции и первообразной на всей прямой будет непрерывной всюду функцией, имееющей нулевую производную всюду, кроме, может быть, указанных точек. Но тогда это константа и склееная функция отличается от лицензионной первообразной на константу, т.е. и сама является первообразной (глобальной).