Итоги студенческой олимпиады

[_ТошА_]

Итоги студенческой олимпиады

Итак, наконец-то собравшись с силами и со временем, спешу поделиться с вами результатами олимпиады, проводившейся не так давно.
В целом, участники порадовали, не порадовало одно - многие из записавшихся не участвовали - так ни по одной задаче и не выложили. Но, это их право.
Представлю вам оргкомитет олимпиады:
 VEK,  Alidoro,  Heor,  _ТошА_
К вышеперечисленным можно обращаться по всем вопросам оценивая и проч. в комментариях записи.
Конечно нельзя забыть  Robot, которая хоть формально и не числится в оргкомитете из-за лишней скромности, но очень-очень нам помогала, без неё ничего бы не вышло.
Ну и, собственно, результаты:
1 место -  Alisa_Selezneva
2 место -  vyv2
3 место -  Mist*,  nvse
Так же участвовал школьник, абсолютно верно решивший одну задачу:  Rus-Kira

Поздравляем их с очень хорошим выступлением! У всех были очень интересные решения, спасибо!

Теперь немного про оценивание. Сначала о таком параметре, как сложность задач.
Каждый проверяющий выставил свой балл каждой задаче - от 0 до 10 в порядке увеличения сложности (10 - очень сложная, 0 - элементарная).
Вот таблица, показывающая распределившиеся баллы сложности по задачам:

За задачу каждый участник получал от 0 до 1 балла. Затем бралась средняя оценка из выставленных. Не все проверяющие поставили баллы по всем задачам: причины различны. Таблицы выставленных оргкомитетом баллов:

Alisa_Selezneva

Mist*

vyv2

nvse

Собственно, баллы пересчитывались вот по какой формуле:
Расчёт коэффициента сложности k = (среднее арифметическое сложностей, выставленных оргкомитетом)*(количество участников)/(5*(количество решивших))
Количество баллов по i-ой задаче, выставленных участнику:
n = (среднее арифметическое из оценок, выставленных оргкомитетом)*`k_i`

И сама таблица баллов:



А теперь решения от составителей:
1) Решить в `ZZ`: `3x^2 - 7xy +2y^2 + 19x - 18y = -35`
Решение:
Перепишем в виде `3x^2-7xy+2y^2+19x-18y+28=-7`
Рассмотрим левую часть как квадратный трехчлен относительно `х`
`f(x)=3x^2-x(7y-19)+2y^2-18y+28`
Тогда `x_(1,2)=((7y-19)+-5(y-1))/6`
Откуда `x_1=(12y-24)/6=2y-4`
`x_2=(2y-14)/6=(y-7)/3`
`3x^2-x(7y-19)+2y^2-18y+28=(x-2y+4)(3x-y+7)`
Уравнение принимает вид
`(x-2y+4)(3x-y+7)=-7`
Рассматривая совокупность четырех систем, имеем две пары решений
`(1;3)` и `(-5;-1)`
Ответ: `(1;3)` и `(-5;-1)`


2) Найти сумму:
`cos(x) + C_n^1cos(2x) + ... + C_n^ncos((n+1)x)`
Решение:


3) Найти функцию `f(x)` `x in (0, 1)`, если `f'(sin^2(x)) = cos(2x) + tg^2(x)`
Решение:
`f'(sin^2(x)) = 1 - 2sin^2(x) + (sin^2(x))/(1 - sin^2(x))`
`f'(t) = 1 - 2t + t/(1 - t) = 1 - 2t - 1 + 1/(1 - t) = -2t + 1/(1 - t)`
`f(t) = -t^2 - ln|1 - t| + C`
Ответ: `f(t) = -t^2 - ln|1 - t| + C`


4) Пусть `t` - дифференцируема на `[a, b]` функция, `t(a) = t(b) = 0`. Доказать, что существует `c in (a, b): t(c) = t '(c)`
Решение:
Составим функцию `g(x) = t(x)*e^(-x)`
`g(a) = g(b) = 0` и g дифференцируема на (a, b)
Тогда по теореме Ролля существует `c in (a, b): g'(c) = 0`
`g' = t'(x)e^(-x)-t(x)e^(-x)`
`g'(c) = t'(c)e^(-c) - t(c)e^(-c) = 0 => t'(c) = t(c)`

5) Пусть `f` - бесконечно дифференцируемая функция. Решить функциональное уравнение: `f(x+y) = f(x) + f(y) +xy(x^2/3 + xy/2 + y^2/3)`, зная что `f(2) = -2`
Решение:
Продифференцируем функцию по y
`f'(x+y) = f'(y) + x(x^2/3 +xy/2 + y^2/3) + xy(x/2 + 2y/3)`
Пусть y = 0
`f'(x) = C_1 + x^3/3`
`f(x) = C_1x + x^4/12 + C_2`
заметим, что `f(0 + 0) = f(0) + f(0) = 2f(0) => f(0)=0`
`f(x) = C_1x + x^4/12`
Найдём `C_1`
`-2 = 2C_1 + 4/3`
`C_1 = -5/3`
Ответ: `f(x) = -5/3x + x^4/12`

6) Решить функциональное уравнение: `2xf(x) + f(1/(1-x)) = 2x`
Решение:
`2xf(x) + f(1/(1-x)) = 2x`
`] t = 1/(1-x)`
`x = (t-1)/t`
Уравнение:
`2*(t-1)/t*f((t-1)/t) + f(t) = 2(t-1)/t`
`] t = (p-1)/p`
`-2/(p-1)*f(1/(1-p)) + f((p-1)/p) = -2/(p-1)`
`] f(x) = a, f(1/(1-x)) = b, f((x-1)/x) = c`

Система:
`2xa + b = 2x`
`2(x-1)/xc + a = 2(x-1)/x`
`-2/(x-1)b + c = -2/(x-1)`

`a = (6x - 2)/(7x)`
Ответ: `f(x) = (6x - 2)/(7x)`

7) `x_1 in (0, 1)` `x_(n+1) = ln(1 + x_n)` Найти `lim_(n->oo) n*x_n`
Решение:
`x_1 in (0, 1)`
`x_(n+1) = ln(1 + x_n)`
Найти `lim(nx_n)`
`x_2 = ln(1 + x_1) < x_1`
`x_3 = ln(1 + x_2) < x_2 < x_1`
Продолжая по индукции получим, что `{x_n}` убывает. Она ограничена снизу нулём, значит по т. Вейерштрасса имеет предел.
`l = ln(1 + l)`
`e^l = 1 + l`
`l = 0`

Итак, последовательность стремится к нулю.

Рассмотрим `1/x_n`

`1/(x_n) = 1/(ln(1 + x_(n - 1))) = 1/(x_(n - 1) - (x_(n-1))^2/2 + o((x_(n-1))^2)) = `
`= 1/x_(n - 1)(1 - (x_(n-1))/2 + o(x_(n-1)))^(-1) = 1/x_(n-1)(1 + x_(n-1)/2 + o(x_(n-1))) = 1/(x_(n - 1)) + 1/2 + o(1)`
Распишем сумму:
`1/x_n = 1/x_0 + 1/2n + o(1) + .. + o(1)`
`x_n = 1/(1/x_0 + 1/2n + o(1) + ... + o(1))`
`lim nx_n = 2`
Ответ: 2

8) Вычислить: `lim_(n->oo) ((n+1)ln(n!) - 2ln(2!3!...n!))/(n^2)`
Решение:
2 раза Штольца
`lim_(n->oo) [(n+1)ln(n!) - 2ln(2!*3!*..*n!)]/(n^2) = lim_(n->oo) [(n+1)ln(n!) - 2ln(2!*3!*..*n!) - nln((n-1)!) + 2ln(2!3!...(n-1)!)]/(n^2 - (n-1)^2) = `
` = lim (nln(n) - ln(n!))/(2n-1) = lim [nln(n) - ln(n!) - (n-1)ln(n-1) + ln((n-1)!)]/(2) = lim [nln(n/(n-1)) + ln(n-1) - ln(n!) + ln((n-1)!)]/2 = `
`= lim [nln(n/(n-1)) + ln(n-1) - ln(n)]/2 = lim (nln(1 + 1/(n-1)) + ln(1 - 1/n))/2 = lim (n(1/(n - 1) + o(1/(n-1))) + 0)/2 = 1/2`
Ответ: 1/2

9) Вычислить: `int_(-1)^1 (ln(1+x^2))/(1+e^x)dx`
Решение:
`I = int_(-1)^0 (ln(1+x^2))/(1+e^x)dx + int_(0)^1 (ln(1+x^2))/(1+e^x)dx = int_(0)^1 (ln(1+x^2)e^x)/(1+e^x)dx + int_(0)^1 (ln(1+x^2))/(1+e^x)dx = `
`= int_0^1 ln(1+x^2)dx = ln2 - 2 + pi/2`
Ответ: `ln2 - 2 + pi/2`

10) Найти общее решение диф. уравнения: `(x^2 + 1)((y')^2 - yy'')= xyy'`
Решение:
`y = 0` - решение. Пусть `y!=0`
`-(x^2 + 1)((y')/y)' = x(y')/y`
`] t = (y')/y`
`t' = -xt/(x^2 + 1)`
`ln|t| = -1/2ln|x^2 + 1| + C_1`
`t = C_1/(sqrt(x^2 + 1))`
`(y')/y = C_1/(sqrt(x^2 + 1))`
`ln|y| = C_1*ln|x + sqrt(x^2 + 1)| + C_2`
`y = C_2*(x+sqrt(x^2 + 1))^(C_1)`
`C_1, C_2 in RR`
Ответ: `y = C_2*(x+sqrt(x^2 + 1))^(C_1)`


11) Найти общее решение диф. уравнения: `y' = y/(y^2 + 1)(1/x + ye^x - y^2/x)`
Решение:
`y = 0` - решение. Пусть `y!=0`.
`(y+1/y)dy = (1/x + ye^x -y^2/x)dx`
поделим ещё на y
`(1 + 1/y^2)dy = (1/x(1/y - y) + e^x)dx`
`t = (y - 1/y)`
`dt = 1 + 1/y^2`

`dt = (-1/xt + e^x)dx`
`t' = -t/x + e^x`
`(dt)/(dx) = -t/x`
`ln|t| = ln|c/x|`
`t = c/x`
`t' = (c')/x - c/x^2`
`(c')/x = e^x`
`c' = x*e^x`
`c = int xe^xdx = xe^x - e^x + C`
`t = (xe^x - e^x + C)/x`
`y - 1/y = (xe^x - e^x + C)/x`
`C in RR`

Ответ: `y - 1/y = (xe^x - e^x + C)/x`, `y = 0`

12) Параметры `a` и `b` меняются так, что система
`{(y = ax + 1), (x^2 + y^2 = 2bx):}`
имеет единственное решение `(x_0, y_0)`. Какую кривую при этом описывает точка `M_0(x_0, y_0)`?
Решение:
Геометрическая интерпретация 1-го уравнения - прямая , проходящая через точку (0;1), геометрическая интерпретация второго уравнения окружность с центром в точке в точке `(b;0)` и радиусом `|b|`. Нужна картинка.
Пусть `b > 0`. Прямая имеет с окружностью единственную общую точку тогда и только тогда , когда она ее касается. Поскольку точка (0;1) расположена вне указанной окружности при любом значении параметра b, то прямая и окружность должны иметь 2 точки касания. Одна из них - точка (0;0), но через не проходит касательная `x=0`, что противоречит условию.
Найдем координаты второй точки касания. Имеем: `{(sqrt(2bx-x^2)=ax+1),((b-x)/sqrt (2bx-x^2)=a):}`. Отсюда `x=(b-a)/(a^2+1)`, и подставляя это значение в любое уравнение, получаем `(ab+1)=sqrt((b-a)(2b(a^2+1)-(b-a)))`, откуда `(a^2+1)(2ab-b^2+1)=0`. Значит параметры (a и b при касании прямой и окружности связаны соотношением`a=(b^2-1)/(2b)` .
Координаты точки касания `(x_0;y_0)=((2b)/(b^2+1); (2b^2)/(b^2+1))`. Исключим параметр `b` для уравнения связи, имеем `b^2=y/(2-y)`, тогда `x=sqrt(2y-y^2)` или `x^2+(y-1)^2=1` (правая полуокружность).
Пусть `b<0`, тогда все решение повторяется,за исключением последней строки: `x=-sqrt(2y-y^2)` и значит получаем вторую полуокружность.
Теперь окончательный ответ: точка M движется по окружности `x^2+(y-1)^2=1`
На окружности имеются 2 выколотые точки: (0;0) и (0;2).
Ответ: `x^2+(y-1)^2=1` На окружности имеются 2 выколотые точки: (0;0) и (0;2)

13) Пусть `a_1 < a_2 < ... < a_k <= n`, - такой конечный набор натуральных чисел, наименьшее кратное любых двух из которых больше `n`. Доказать, что `sum_(i=1)^k 1/a_i < 2`
Решение:
Пусть `a_1=1`, тогда в наборе только одно число и утверждение задачи очевидно.
Пусть `a_1 >= 2`. Обозначим `b_m` – число элементов конечного набора `{a_1,a_2,…,a_k}`, удовлетворяющих неравенствам `(m-1)/n <= 1/a_i < m/n`, `m=2,3,…,n+1` (1).
Каждый из этих `b_m` элементов `a_i` имеет `(m-1)` кратных среди `n` первых (без единицы) натуральных чисел, причем никакие два из этих элементов не имеют общего кратного среди `n` первых натуральных чисел. Таким образом, `b_2+2b_3+3b_4+⋯+nb_(n+1)=sum_(m=2)^(n+1) (m-1)b_m = n - r_1`, `r_1 >=0`. (2)
Для любого конечного набора `a_1 < a_2 < ⋯ < a_k` мы можем, не ограничивая общности, выбрать `n=a_k`. Тогда, как следует из неравенства (1) (`1/a_k =1/n`, это число входит в количество элементов `b_2`, выделяем его),
`sum_(i=1)^k 1/a_i < 1/n + (b_2-1)*2/n + b_3*3/n + b_4*4/n + ⋯ + b_(n+1)*(n+1)/n = -1/n + sum_(m=2)^(n+1) m/n b_m = 1/n(-1+sum_(m=2)^(n+1) mb_m)`.
Подставляя значение `b_2 = n-r_1-sum_(m=3)^(n+1) (m-1)b_m` из соотношения (2), получаем
`sum_(i=1)^k1/a_i < 1/n(-1+2b_2+sum_(m=3)^(n+1) mb_m) = 2-1/n-(2r_1)/n - 1/n(sum_(m=3)^(n+1) (m-2)b_m)`, что и доказывает неравенство `sum_(i=1)^k 1/a_i < 2`.

Замечание. Оценка может быть улучшена: `sum_(i=1)^k 1/a_i <6/5`.

@темы: Тренинги eek

Comments

[Robot]

Хотела бы сказать спасибо всем участникам!!!

Действительно, решения были очень интересные.
Например, решение Alisa_Selezneva второй задачи (более простоe, чем официальное)
2) Найти сумму:
`cos(x) + C_n^1cos(2x) + ... + C_n^ncos((n+1)x)`.

Решение.

Пусть `S=cos(x) + C_n^1cos(2x) + ... + C_n^ncos((n+1)x)` искомая сумма.
Рассмотрим сумму
`S_1=C_n^0*(cos(x)+i*sin(x))+ C_n^1*(cos(2x)+i*sin(2x))+ ... +C_n^n*(cos((n+1)x)+i*sin((n+1)x))` и заметим, что `S=R e(S_1)`.
Преобразуем выражение для `S_1`, используя первую формулу Муавра, формулу бинома Ньютона и правило умножения комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.
`S_1=C_n^0*(cos(x)+i*sin(x)) + C_n^1*(cos(x)+i*sin(x))^2+… C_n^n*(cos(x)+i*sin(x))^ (n+1)=`[Замена: `z=cos(x)+i*sin(x)`]`= C_n^0*z + C_n^1*z^2+… C_n^n*z^(n+1)=z*( C_n^0 + C_n^1*z+… C_n^n*z^n)=z*(1+z)^n=(cos(x)+i*sin(x))*(1+cos(x)+i*sin(x))^n=(cos(x)+i*sin(x))*(2cos^2(x/2)+i*2sin(x/2)cos(x/2))^n=2^n*cos^n(x/2)*(cos(x)+i*sin(x))*(cos(x/2)+i*sin(x/2))^n=2^n*cos^n(x/2)*(cos(x)+i*sin(x))*(cos((nx)/2)+i*sin((nx)/2))= 2^n*cos^n(x/2)*(cos((n+2)/2*x)+i*sin((n+2)/2*x))= 2^n*cos^n(x/2)*cos((n+2)/2*x)+i*2^n*cos^n(x/2)* sin((n+2)/2*x).
Следовательно, `S=R e(S_1)= 2^n*cos^n(x/2)*cos((n+2)/2*x)`.
Ответ: `2^n*cos^n(x/2)*cos((n+2)/2*x)`.

[VEk]

Хотелось бы верить, что участники не жалеют о потраченном времени.

[Alisa_Selezneva]

Хочу выразить огромную благодарность оргкомитету, администрации сайта, всем тем людям, которые были задействованы в организации и проведении олимпиады.
Я считаю, что для нашего сообщества это очень хороший опыт, который будет способствовать выявлению и развитию математических способностей участников сообщества, раскрытию их творческого потенциала.
Лично для меня подготовка к самой олимпиаде оказалась очень продуктивной: я узнала много новых и интересных методов решения математических задач. А подготовиться я смогла благодаря очень богатому материалу, который хранится на полках нашего математического сообщества, там есть и специальные разделы:
Литература по подготовке к математическим олимпиадам (часть I)
Литература по подготовке к математическим олимпиадам (часть II)
Участие в олимпиаде - это всегда волнительно и ответственно. Каждая решённая задача, это маленькая победа, это маленькое открытие, которое приносит ни с чем несравнимую радость, много положительных эмоций и творческий подъём.
Я очень рада, что мне удалось занять первое место, но если бы я решила всего лишь одну задачу из предложенных, я бы об этом ничуть не пожалела.
Я надеюсь, что эта не последняя математическая олимпиада, и что в будущем ряды желающих участвовать в новых олимпиадах пополнятся.

[VEk]

Alisa_Selezneva Спасибо!

[Robot]

Alisa_Selezneva
От себя хочу сказать, что просто восхищаюсь и Вашими решениями, и оформлением этих решений.
Прямо жалко, что их увидели только мы.

[Гость]

Alisa_Selezneva

[Alisa_Selezneva]

Спасибо большое!
А насчёт решений, так это не проблема!
Вот архив: www.onlinedisk.ru/file/634332/

[Robot]

О-о!
Нет слов прямо!
Спасибо!

[Alisa_Selezneva]

Пожалуйста!

[nvse]

Да , некоторые задачи очень даже просто решались , к примеру 3-ая . Организаторам всего этого спасибо .

?

Единственное , что непонятно это как в решении 7-ой задачи появилась строка после слов "Распишем сумму :"

[_ТошА_]

nvse там рекуррентная формула. Её расписал через нулевой член
Alisa_Selezneva Вы выступили великолепно, получил удовольствие!

[vyv2]

Огромное спасибо всем организаторам олимпиады. Я получил огромное удовольствие от участия в этой олимпиаде и совсем не ожидал , что займу какое-то место. Вначале я уж хотел было отказаться от участия, т.к. тяжело было оформлять задачи, но спасибо за поддержку со стороны Robot и VEk.

[vyv2]

У меня замечание по 4 задаче. В условии сказано только, что функция дифференцируема и ничего о ее непрерывности. А в решение Вы ссылаетесь на теорему Ролля, которая требует от функции непрерывности. Если функция дифференцируема, то это не значит, что она непрерывна. У меня построена именно такая функция. Я считаю, что мой ответ справедлив.
По 3 задаче никак не предполагал, что производная функции в условии берется по синус в квадрате, а не по х. Если не указано по какой переменной, то надо было бы рассмотреть два варианта.
Поймите меня правильно, это всего лишь маленькие замечания.

[vyv2]

Найдите, пожалуйста, ошибку у меня в решении задачи № 7

[vyv2]

В задаче 7 ошибку нашел.

[_ТошА_]

vyv2

Если функция дифференцируема, то это не значит, что она непрерывна.

Вообще-то следует

[vyv2]

Зачем в теореме Ролля требуют непрерывность функции помимо дифференцируемости. Где из дифференцируемости следует непрерывность?

[vyv2]

Понял свою ошибку. Спутал понятия существования производной и дифференцируемость функции. Спасибо. Действительно, в теореме Ролля требуется непрерывность и существование производной, а не дифференцируемости.

[vyv2]

Все-таки некое недопонимание осталось. Производная как предел в точке 0 в моем примере существует, т.к. предел справа и слева существуют. Есть теорема, что для дифференцируемости н. и д. существование производной, а функция разрывна.

[vyv2]

С производной вроде разобрался, в моем примере не существуют пределы справа и слева для производной. Остался вопрос зачем в теореме Ролля , Коши и Лагрнжа требуют на ровне с существованием производной и непрерывность?
Из-за концов отрезка?

[Robot]

Сейчас, по-видимому, нет тех, кто проверял
Они подойдут попозже и все объяснят

[_ТошА_]

vyv2 Потому что говорится вот как:
Пусть функция непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b). f(a) = f(b), тогда бла-бла-бла.
Так удобнее формулировать

[vyv2]

_ТошА_ нет, дело не в удобстве.Я вроде бы разобрался. Эти теоремы более общие и допускают отсутствие производных на концах отрезков. Существуют функции непрерывные на замкнутом отрезке, но не имеющие производной (односторонней) на концах и тем не менее для них справедливы теоремы Ролля, Коши, Лагранжа.
Остался вопрос по задаче 3 : по какой переменной берется производная в условии задачи, если справа стоит функция от х.

[_ТошА_]

Эти теоремы более общие и допускают отсутствие производных на концах отрезков.

ну естественно. Я и подчёркивал, что говорится об отрезке и интервале.

по какой переменной берется производная в условии задачи, если справа стоит функция от х.

по иксу

[Heor]

vyv2

Остался вопрос по задаче 3 : по какой переменной берется производная в условии задачи, если справа стоит функция от х.

Есть функция `f(x)` мы берем производную по `x` и получаем `f'(x)`.
А потом предоставляем Вам значение производной только, подставив в нее `sin^2(x)` вместо `x`.
Вот и получается `f'(sin^2 x)`.

Например.
`f(x) = x^2; f'(x) = 2*x; f'(sin^2 x) = 2*sin^2(x)`.

[vyv2]

Но можно понять и таким образом, что сначала подставляем в функцию синус, а потом дифференцируем по х.

[Heor]

vyv2
Нет. Таким образом понять нельзя. Таким образом можно было бы понять, если бы мы записали так: `[f(sin^2(x))]'`.

[VEk]

Производная как предел в точке 0 в моем примере существует,

Вот здесь Вы ошибаетесь.
`f'(+0)=lim_(x->+0) (f(x)-f(0))/x=lim_(x->+0)(k(x+0.5)-0)/x=k+lim_(x->+0) k/(2x)`. Вы считаете что этот предел существует?

[vyv2]

Нет, с 10-39 я не считаю, что существует

[VEk]

vyv2 Только что вернулся домой, поэтому и написал комментарий только сейчас.