Планиметрия

[Julishka]

На стороне треугольника `ABC` с углами `BAC=z` , `CBA=y` и высотой `AH` взята такая точка `K`, что `(AK)/(BK)=1/2`. Через точку`K` проведена окружность, касающаяся стороны `BC=a` в точке `H`. Найти радиус этой окружности.


Мое решение: Так как `AD` перпендикулярна `BC` - касательной к окружности, центр данной окружности `O` лежит на прямой `AD` и `OD` -радиус окружности. `OK=OD` как радиусы.
`BK=BD` как отрезки касательный к окружности. углы `BKO=BDO=90`. тогда угол `KOD=180-y`
Пусть `AK=x`, тогда `BK=BD=2*x`
По теореме косинусов: для треугольника `KBH`: `(KH)^2=2*4*x^2*(1-cosy)` , для треугольника `KOH` : `(KH)^2=2*r^2*(1+cosy)` . отсюда получаем, что `r=2*x*sqrt((1-cosy)/(1+cosy))=2*x*(1-cosy)/siny`(1)
Найдем `x`:
По теореме синусов для треугольника `ABC`: `(sinBCA)/(AB)=(sinBAC)/(BC)` `=>` `sin(180-(z+y))/(3*x)=sinz/a` `=>` `x=a*sin(y+z)/(3*sinz)` (2)
Подставляем (2)в (1) и получаем, что `r=2*a*(1-cosy)*sin(z+y)/(3*sinz*siny)`
Это мое решение.
В ответе написано

`r=a*(1+3*(siny)^2)*sin(z+y)/(12*sinz*siny)`
Подскажите, пожалуйста,где у меня ошибка?

@темы: Задачи вступительных экзаменов

Comments

[VEk]

Условие неточное. Про касание окружности в точке K ничего не сказано. Уточните задание.

[Гость]

условие вот такое и есть.
задача вот отсюда ( с другими буквами только)
kvant.mirror1.mccme.ru/1991/02/p65.htm
вариант 3 задание 4

[VEk]

Плохо прочитал условие.

[VEk]

Вы неверно исходите из того, что окружность касается стороны AB. Используйте теорему косинусов для треугольника OAK, считая, что `AO=AH-r`, `OK=r`. Наверное плохо считал, но у меня в ответе получилось 8, а не 12. ( все остальное совпало)
Кроме того, в журнале есть указание к решению задачи на стр. 86

[Julishka]

спасибо. указания в журнале мне не помогли из-за ошибочного предположения, что окружность касается стороны АВ

[VEk]

Julishka Задача решилась?