[mishiuss]

Проверьте пожалуйста часть моей расчетки, что-то меня терзают сомнения насчет правильности некоторых моих выкладок....Во втором задании меня смущает наличие условия h>0, а точнее того, что из этого следует. Я решила этот вопрос удвоением интеграла...Но правильно ли это? и что из себя представляет такая поверхность? Потом в 6 задании мне не нравятся полученные мною координаты центра тяжести x и у. Из соображения симметрии очень хочется сделать их равными((( А вот найти площади поверхнсоти у меня вообще не получилось. Выкладываю свой черновик, подскажите хотя бы в каком направлении идти, и где я ошибаюсь...
p.s.сроки поджимают - завтра надо мне со всем разобраться

Comments

[VEk]

№1. Во внутреннем интеграле нижний предел равен `y`.
№2. В первой строке вычисления V пропущен множитель `abc`. Вычислено верно.
№4. Масса дуги - это криволинейный интеграл. Вы считаете массу четверти круга.
№6 Объем подсчитан верно. Моменты не проверял. Загоните эти интегралы в Wolframalfa и проверьте.

[mishiuss]

VEk ой, спасибо ,большое за поправки моих ошибок "как всегда по невнимательности" )С 4 пойду разбираться...А вот что делать с площадью поверхности? (еще один №1)

[VEk]

Уже заметил еще один листочек. Но, честно говоря, подождите кого-либо еще. Пока сам зашиваюсь

[Heor]

mishiuss
По поводу поверхности.
Есть несколько способов определения.
1. Через поверхностный интеграл 1-го рода.
2. Через двойной интеграл.

Не знаю какой из них Вам давали. Но, судя по действиям, Вы пытались перейти к двойному. Давайте им и продолжим.
Итак. Первое и главное, Вам надо представить эту поверхность.
Первое, что мы замечаем - это симметрия. Наша поверхность будет симметрична относительно всех координатных плоскостей.
Таким образом, имеет смысл находить площадь той части поверхности, что расположена в I четверти (`x>=0; y>=0; z>=0`).
Площадь этого куска, в силу симметрии, даст нам ровно четверть площади всей поверхности.
`x in [0; |a|]; y in [0; |a|]; (x^2 + y^2) <= a^2`
`r in [0; |a|]`
`phi in [0; pi/2]`

Для определенности будем считать, что `a>0`. Если `a=0`, то у нас получается точка.

`z = sqrt(a*sqrt(x^2 + y^2) - (x^2 + y^2)) = sqrt(r*(a - r))`

`z'_x` и `z'_y` Вы нашли верно. И я так понял, что здесь вы испугались. И это зря. Выглядит это страшно, но довольно легко упрощается, если продолжить применять Ваш финтик. А именно, продолжим подставлять туда цилиндрические координаты. Тогда производные предстанут в виде:
`z'_x = [(a - 2r)*cos(phi)]/[2*sqrt(r(a - r))]`
`z'_y = [(a - 2r)*sin(phi)]/[2*sqrt(r(a - r))]`

Теперь пару слов про то, что делать дальше.
1. Считаем `sqrt(1 + (z'_x)^2 + (z'_y)^2) = a/[2*sqrt(r(a - r))]`
2. И вычисляем интеграл в новых координатах, благо якобиан легко считает и он равен `r`
`S = int int [a*r]/[2*sqrt(r(a - r))] dr dphi; r in [0, a]; phi in [0; pi/2]`

Что уже считается ...

[mishiuss]

Heor на счет того, что поверхность симметричная, это понятно. Меня интересовало, на что это будет похоже - это какая-то шарообразная штука? просто как влияет на форму квадрат левой части и умножение правой на (x^2+y^2) ?..
и не совсем понимаю откуда берется оценка "x in [0; |a|]; y in [0; |a|]; (x^2 + y^2) <= a^2"
а с остальными выкладками разобралась, спасибо Вам)

[mishiuss]

Heor кстати конечный интеграл очень странно посчитался - подставляя пределы от 0 до a получается ноль. ( я конечно сразу захотела прикинуть результат и посчитала в вольфраме внутренний интеграл http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+r%2F%28sqrt%28ar-r^2%29%29+dr )

[Heor]

Нда. Там все же не ноль. Я как-то забыл подставить. Но все равно что-то не то получается. Надо бы подумать.

[VEk]

mishiuss По какому учебнику Вы занимаетесь?
Нет ли у Вас Фихтенгольца, курс, том 3(его можно , кстати, скачать с наших книжных полок)

[Heor]

mishiuss
Пусть `a>0`
Для того, чтобы понять можно построить проекции.
`z = 0` => `r^2 = a*r` => `r=0` или `r = a` Это окружность или точка.
Если Вы будете пересекать параллельными плоскостями. `z=b, b>0`, то получите `r^2 - a*r + b^2 = 0; (r - a/2)^2 = - b^2 + (a^2)/4;`
`r = a/2 +- sqrt((a^2)/4 - b^2)` уже две окружности.

Можно пересекать и дальше, но уже более менее понятно и так.
А вот как описать ее, я даже не знаю. Взяли плоский круг радиуса `|a|` посередине (`|a|/2`) его взяли и вздыбили горбом, а потом снизу приделали такой же.

Получается, что считать можно еще половинку `r in [0, a/2]` или `r in [a/2, a]`

Но еще одна особая точка остается.

UPD: Извиняюсь. Не заметил, что не отправился.

[mishiuss]

VEk Вообще по демидовичу, но откуда эти задания, я не знаю - нам их выдали. А у фихтенгольца я уже просмотрела примеры....
Heor Да,спасибо, более-менее теперь понятно как оно выглядит. но все равно что-то не так...

[VEk]

mishiuss Демидович - это задачник. Фихтенгольц - учебник. В т.3 курса, п.629 есть примеры, как посчитать площадь поверхности в случае сферических координат. посмотрите, если что-то будет надо пишите даже ночью, с утра посмотрю.

[mishiuss]

VEk я как раз подумала, что стоит попробовать через сферические координаты) сейчас буду пытаться)

[mishiuss]

вот как у меня получилось :
при таком раскладе мы же находим 1/8 часть, а не 1/4, так?

[mishiuss]

VEk проверьте пожалуйста

[VEk]

Вроде все верно. Только не понял, почему Вы не берете сразу интегралы по всему телу? Можно сразу от 0 до `2pi` и от 0 до `pi`.
Это тор с дыркой нулевого радиуса, радиус кольца тора равен `|a|/2`

[mishiuss]

VEk так, по привычке)
А вообще, спасибо Вам огромное! Вы меня очень выручили!!!