С5. Козко. 1-25

[Новый гость]

Здравствуйте.

Задача:
Найдите все значения `a`, при каждом из которых система уравнений
`{(x+a(y+1)=2a),(x^3+a(2y^3+1)=ay^3+2a):}`
разрешима и имеет не более двух решений.

`{(x+ay+a=2a),(x^3+2ay^3+a=ay^3+2a):}`,
`{(x+ay-a=0),(x^3+ay^3-a=0):}`,
вычтем из второго уравнения первое:
`x^3-x+a(y^3-y)=0`,
`x(x-1)(x+1)+ay(y-1)(y+1)=0`,
а что же дальше?

Помогите, пожалуйста, решить.

@темы: Задачи с параметром, ЕГЭ

Comments

[Новый гость]

Наверное, нужно попробовать выразить `x` из первого уравнения и подставить во второе.

[Новый гость]

`x=a-ay`,
`(a-ay)^3+ay^3-a=0`,
`a^3-3a^3y+3a^3y^2+ay^3-a=0`,
`a(a^2-3a^2y+3a^2y^3+y^3-1)=0`,
при `a=0` система имеет бесконечно много решений, поэтому `a=0` не подходит.
`a !=0`,
`a^2-3a^2y+3a^2y^3+y^3-1=0`,
дальше не получается.

[Диана Шипилова]

Новый гость

Наверное, нужно попробовать выразить `x` из первого уравнения и подставить во второе.

Да, это верно.

[Новый гость]

Да, это верно.

Однако ни к чему не привело.

[Новый гость]

А, я забыл ещё `-a^3`. Сейчас переделаю.

[Диана Шипилова]

Новый гость
Извините, у меня вчера отключилась сеть. Я хотела написать, чтобы вы обратили внимание: `(a - ay)^3 = a^3(1 - y)^3`, `ay^3 - a = a(y^3 - 1)`.

[Новый гость]

Я вчера дошёл до следующего:
`x=a-ay`,
`(a-ay)^3+ay^3-a=0`,
`a^3-3a^3y+3a^3y^2-a^3y^3+ay^3-a=0`,
`a(a^2-3a^2y+3a^2y^3-a^2y^3+y^3-1)=0`,
при `a=0` система имеет бесконечно много решений, поэтому `a=0` не подходит.
`a !=0`,
`a^2-3a^2y+3a^2y^3-a^2y^3+y^3-1=0`,
`3a^2y(y^2-1)-a^2(y^3-1)+y^3-1=0`,
`3a^2y(y-1)(y+1)+(y-1)(y^2+y+1)(1-a^2)=0`,
`(y-1)(3a^2y(y+1)+(y^2+y+1)(1-a^2))=0`,
`y=1`,
`3a^2y(y+1)+(y^2+y+1)(1-a^2)=0`,
`3a^2y^2+3a^2y+y^2+y+1-a^2y^2-a^2y-a^2=0`,
`2a^2y^2+2a^2y+y^2+y+1-a^2=0`,
`y^2(2a^2+1)+y(2a^2+1)+1-a^2=0`,
`D=(2a^2+1)^2-4(2a^2+1)(1-a^2)=(2a^2+1)(1-4(1-a^2))=0`,
`2a^2+1>1` `=>` `1-4(1-a^2)=0`,
`1-4+4a^2=0`,
`4a^2=3`,
`a=+-(sqrt3)/2`
Однако ответ АБСОЛЮТНО ДРУГОЙ! Скажите, пожалуйста, где же у меня неправильно?

[Новый гость]

Кто-нибудь, помогите, пожалуйста, дорешать.

[VEk]

Случай `a=0` Вы исследовали верно.
Если `a != 0`, то имеем систему `{(x=a(1-y)),(a^2(1-y)^3=1-y^3):}`. Эта система всегда имеет решение `(0;1)` (интересно, почему бы это?), поэтому оставшаяся система `{(x=a(1-y)),(a^2(1-y)^2=1+y+y^2):}` должна иметь не более одного корня. Это будет во-первых при `a^2=1`, (с чего бы это?), а вот во-вторых ...(когда же это будет во-вторых?)

[Robot]

VEk

[Новый гость]

Как-то для меня это слишком трудно. Писал ведь сам несколько раз, что терпеть не могу эту книжку, всё-таки стал решать из неё, и это ни к чему не привело. Сравнил все книги по параметрам, наиболее приемлемыми для меня являются книги Корянова и Крамора. Другие рассчитаны на подготовленных учеников. Спасибо всем, кто помогал, но, видимо, мне придётся оставить эту задачу до лучших времён.

[Гость]

Если `a != 0`, то имеем систему `{(x=a(1-y)),(a^2(1-y)^3=1-y^3):}`.
Эта система всегда имеет решение `(0;1)` (интересно, почему бы это?)

Так как 0=0.

, поэтому оставшаяся система `{(x=a(1-y)),(a^2(1-y)^2=1+y+y^2):}` должна иметь не более одного корня.

Это будет во-первых при `a^2=1`, (с чего бы это?),

Так как линейное уравнение имеет одно решение

а вот во-вторых ...(когда же это будет во-вторых?)

Когда дискриминант будет неположителен

[Heor]

Новый гость

Как-то для меня это слишком трудно.

В чем же трудность?

[Новый гость]

В чем же трудность?

Правильно решить задачу. Пока разбираю задачи из Корянова - они гуманнее. Где у меня, например, ошибка в комментарии от 2011-03-16 в 14:35 ?

[Heor]

Новый гость
В нахождении дискриминанта. Вы допустили неточность при вынесении за скобку `(2*a^2 +1)`

[Новый гость]

Да, так оно и есть.
Должно быть:

`D=(2a^2+1)^2-4(2a^2+1)(1-a^2)=(2a^2+1)(2a^2+1-4(1-a^2))=(2a^2+1)(6a^2-3)=3(2a^2+1)(2a^2-1)`.

Теперь два случая: первый - когда уравнение имеет 1 корень или не имеет корней (потому что ещё один у нас уже есть `y=1`); второй - уравнение имеет два корня, но один равен 1. Так нужно? Или я что-то упускаю?

[Heor]

Новый гость
Теперь уже ничего. Если бы Вы правильно разложили, то все было бы правильно.
Только Вы допустили еще несколько ошибок, только выше, при Вынесении за скобочки `(y - 1)`.
Вы все делаете правильно, но не внимательно.

[Новый гость]

Вынесении за скобочки (y-1).

Не вижу.

[Heor]

у Вас входе пермещений `3 a^2 y^2` непринужденно трансформировалось в `3 a^2 y^3`. Ну и дальше уже не правильно...

[Новый гость]

Не вижу, где это.

[Heor]

Плохо. Развивайте внимательность.
Вот тут:
`a^3-3a^3y+3a^3y^2-a^3y^3+ay^3-a=0`, - верно
`a(a^2-3a^2y+3a^2y^3-a^2y^3+y^3-1)=0`, - с ошибкой

[Новый гость]

Да, точно.
Должно быть так:
`a^2-3a^2y+3a^2y^2-3a^2y^2-a^2y^3+y^3-1=0`?

А как это разложить на множители?

[Heor]

Новый гость
`y=1` - Все равно корень уравнения. Просто поделите на `(y - 1)`. Можно в столбик.