пятница, 11 марта 2011
23:10

Расстояние от точки до плоскости

все записи пользователя в сообществе MATMAX
читать дальше
Необходимо найти расстояние от точки `B` до плоскости `ACD1`. Ребро куба равно 1 см.

Искомое расстояние, то я нашел, но доказать, что это перпендикуляр и вычислить его длину у меня не получилось.
читать дальше

Поднял запись, ибо застрял в решение. :(

@темы: Стереометрия

URL
Комментарии
10.03.2011 в 20:45

SarahKru
я бы решала через объём.
расстояние-эот высота пирамиды. рассмотрите пирамиду ACDD1
расстояние от В до плоскости равно расстоянию от Д до плоскости
URL
10.03.2011 в 20:48

Можно использовать тригонометрию, для этого найдите нужные углы (например, BB2O, где A2B2C2D2 — нижний неотмеченный квадрат, O — пересечение AC и D1B2).
URL
10.03.2011 в 20:52

MATMAX
Сейчас попробую разобраться. Но я не понял, как O может быть точкой пересечения AC и D1D2, ведь эти прямые скрещиваются?
URL
10.03.2011 в 20:55

Ой, ошибся, имел ввиду противоположную вершину — D1B2 -) O — центр квадрата.
URL
10.03.2011 в 20:57

MATMAX
Понял. :)

Пока вынужден отойти, чуть позже постараюсь выложить свое решение, если получиться.
URL
11.03.2011 в 03:54

MATMAX
Построим второй квадрат `ABCDA2B2D2C2`, равный исходному, как изображено на рисунке. Пусть `O` - точка пересечения `B2D1` и `AC`.

`AD1CB2` - ромб, поскольку все его стороны равны (диагонали граней куба), `AC` и `D1B2` его ребра, следовательно `O` - середина `AC`.

`BD = sqrt(1+1) = sqrt(2)` => `BO = sqrt(2)/2`

`BB2 = BB1 = 1`

`S(ABB2) = (1/2)*(sqrt(2)/2)*(1) = sqrt(2)/2`

`AB2 = sqrt(((2)/2)^2 + 1^2)= sqrt(3)/sqrt(2)`

Длину высоту, опущенной из точки `B` на прямую `B2D1`, легко найти, зная площадь треугольника `ABB2`: `S(ABB2) = (1/2)*h*AB2` => `(1/2)*sqrt(2)/2 = (1/2)*(sqrt(3)/sqrt(2))*h` => `h = 1/sqrt(3)`.

Вроде все верно, вопрос в том, что я не доказал, что это прямая перпендикулярна плоскости, то есть является искомым расстоянием. :(
URL
11.03.2011 в 15:42

Вы, наверное, во многих местах вместо точки `A` имели ввиду точку `O`, ибо непонятно, как треугольник ABB2 связан с искомой высокой.
Высота вышла верно (по предложенному мной варианту вышло так: `tg /_BB_2O=sqrt(2)/2`, `=>` `sin /_BB_2O=1/sqrt(3)`, а т.к. `sin/_BB_2O=h/(BB_2)=h=1/sqrt(3)`).
По поводу доказательства: может, достаточно показать, что основание перпендикуляра равноудален от A и C?
URL
11.03.2011 в 21:56

MATMAX
Аааа. :horror:
Точно напутал. Но разве показав равноудаленность я докажу, что он перпендикулярен плоскости?
Насколько я знаю, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двумя пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
URL
11.03.2011 в 21:57

Нужно же показать, что этот перпендикуляр падает на прямую `B2D_1`...
URL
11.03.2011 в 22:17

MATMAX
Так я выводил длину `h` через треугольник `BB2O`. `B2O` - отрезок прямой `B2D1`.

Как удалось сделать цифры маленькими?
URL
11.03.2011 в 22:20

Как удалось сделать цифры маленькими?
Нижний индекс: B_2 `B_2`, lalala_(kukuku)^(tratata) `lalala_(kukuku)^(tratata)`

Так я выводил длину `h` через треугольник `BB_2O`.` B_2O` - отрезок прямой `B_2D_1`.
Это к чему?

Можете поднять запись и написать в стартовом сообщении комментарий о том, что осталось доказать, возможно, другие подскажут способ доказательства, т.к. я в них не очень силен. -)
URL
11.03.2011 в 22:30

MATMAX
Нужно же показать, что этот перпендикуляр падает на прямую B2D1...Нужно же показать, что этот перпендикуляр падает на прямую B2D1...
Я же нашел длину перпендикуляра `h` через формулу `S=(1/2)*h*a`, где `a` - `B_2O`. То есть нашел высоту опущенную из точки `B` на сторону треугольника `B_2O`. Разве в таком случае надо показывать, что найденная высота перпендикулярна прямой `B_2D_1`, которая включает в себя отрезок `B_2O`?

Спасибо, получился нижний индекс. :)
URL
11.03.2011 в 22:35

MATMAX,
нужно же показать, что перпендикуляр от точки до плоскости падает на эту прямую `D_1B_2`, а не в другую точку плоскости. Я к этому. То, что она будет перпендикулярна самой прямой — это уж понятно.
URL
11.03.2011 в 23:02

MATMAX
Может где-то в моих знаниях теории прорех, но если `h` - перпендикуляр, опущенный на эту прямую, то точка - основание перпендикуляра - принадлежит прямой `D_1B_2`. :conf3:
URL
11.03.2011 в 23:06

Нам же надо найти основание перпендикуляра не просто на прямую, а на плоскость. А так как в данном случае он падает на прямую, то нам надо это доказать, т.е. он падает не на какую-то другую точку плоскости, а именно на эту прямую.
Что Вам мешает поднять запись? -) А то она уже далеко вниз ускакала.
URL
11.03.2011 в 23:10

MATMAX
Насколько я понял, в результате вышеописанного решения мы находим длину перпендикуляра, опущенного из точки 'B' на прямую 'D_1B_2' (её отрезок). Осталось доказать, что этот перпендикуляр перпендикуляр всей плоскости, а не только данной прямой.

«т.е. он падает не на какую-то другую точку плоскости, а именно на эту прямую.»
Не совсем понимаю мысль, ведь основание перпендикуляра естественно лежит на этой прямой. Вопрос в том, что перпендикуляр на эту прямую не обязательно перпендикулярен плоскости, в которой лежит данная прямая.

Писал сообщение вместе с Вами, вывод у нас получился почти одинаковый. :)

Запись поднимаю.
URL
11.03.2011 в 23:16

mpl
Запись поднимаю.
Причина?
URL
11.03.2011 в 23:18

Поиск людей, которые могут подсказать, как доказать то, что отмеченный перпендикуляр является расстоянием от точки до плоскости.
URL
11.03.2011 в 23:26

Гость
BB1D1D - замечательная плоскость.
URL
11.03.2011 в 23:30

MATMAX
Я думал над этим. Но как тогда доказать, что эта плоскость перпендикулярна плоскости плоскости `AD_1C`?
URL
11.03.2011 в 23:35

Heor
Мыслить последовательно, судить доказательно, опровергать неправильные выводы должен уметь всякий: физик и поэт, тракторист и химик. (с)Э. Кольман
Поиск людей, которые могут подсказать, как доказать то, что отмеченный перпендикуляр является расстоянием от точки до плоскости.
А в чем проблема? Обозначим нижний квадрат точками `A_2, B_2, C_2, D_2`. Вы можете доказать перпендикулярность плоскостей `(BB_2D_1)` и `(AB_2D_1)`?
URL
11.03.2011 в 23:55

Heor
Мыслить последовательно, судить доказательно, опровергать неправильные выводы должен уметь всякий: физик и поэт, тракторист и химик. (с)Э. Кольман
Или даже проще.
Пусть O - точка пересечения BD и AC, а Q - проекция точки B на плоскость `(ACB_2)`.
Тогда QO - проекция BO на плоскость `(ACB_2)`. Т.к. BO перпендикулярно AC (диагонали квадрата), то по теореме о трех перпендикулярах можно утверждать, что QO тоже перпендикулярно AC. Т.к. `OB_2` перпендикулярна AC и тоже проходит через тоску O, а так же т.к. QO и `OB_2` лежат в одной плоскости, то очевидно, что Q принадлежит `OB_2`. А значит ....
URL
12.03.2011 в 01:43

MATMAX
Проверьте, пожалуйста. :)

Построим равный куб `ABCDA_2B_2C_2D_2`

Пусть `O` - точка пересечения `BD` и `AC`, а `Q` - проекция точки B на плоскость `ACB2`.
Тогда `QO` - проекция `BO` на плоскость `ACB2`. Т.к. `BO` перпендикулярно `AC` (диагонали квадрата), то по теореме о трех перпендикулярах можно утверждать, что `QO` тоже перпендикулярно `AC`. Т.к. `OB_2` перпендикулярна `AC` и тоже проходит через тоску `O`, а так же т.к. `QO` и `OB_2` лежат в одной плоскости, то очевидно, что `Q` принадлежит `OB_2`.

Следовательно, необходимо найти длину `BQ` - это искомое расстояние и высота в треугольнике `BOB_2`.

Найдем его площадь:
`BO` = `1/2 * BD` = `1/2 * sqrt(1+1)` = `sqrt(2)/2`; `BB_2` = `1`
`S` = `1/2 * sqrt(2)/2 * 1` = `sqrt(2)/4`

Теперь найдем `B_2O`:
`B_2O` = `sqrt((sqrt(2)/2)^2 + 1^2)= sqrt(3)/sqrt(2)`

Выразим площадь иным способом:
`S` = `1/2 * h * B_2O` => `sqrt(2)/4` = `1/2 * h * sqrt(3)/sqrt(2)` =>; `h`=`1/(sqrt(3))`

Соответственно, `BQ = 1/sqrt(3)`. Это и есть искомое расстояние.
URL
12.03.2011 в 09:21

Heor
Мыслить последовательно, судить доказательно, опровергать неправильные выводы должен уметь всякий: физик и поэт, тракторист и химик. (с)Э. Кольман
MATMAX
Верно.
URL
12.03.2011 в 21:41

MATMAX
Спасибо большое всем! :ura:
URL