Взять интеграл

[Fedia62]

Каким способом брать следующий интеграл:
int(1+t^2)^(1/2)dt
Пробовл заменой t=sinx, t=tgx, ничего не выходит =(

@темы: Интегралы

Comments

[Гость]

Используйте основное гиперболическое тождество и подстановку t=shx.

Можно провести замену `t=\sh q`. Только когда нужно будет преобразовывать к исходной переменной, нужно знать или вывести связь гиперболических функций с обратными гиперболическими функциями.

Не успел. -)

[Fedia62]

Спасибо за подсказки, сейчас попробую)

[Гость]

Можно взять по частям, а потом свести к самому себе.

[Fedia62]

Я пока дошёл до следующего выражения int(chz)^2dz...

Я пока дошёл до следующего выражения int(chz)^2dz...

Используйте формулу понижения степени для гиперболических функций.

[Fedia62]

Вроде что-то получил, а именно:
shz/2+z/2+const
Я забыл ещё упомянуть что теперь нужно найти определённый интеграл) А тут вообще ТАКОЕ получается =((
Пределы интегрировани первоначальные были 0 и x^2. Теперь они стали 0 и ln(x^2 +/- (x^2+1)^(1/2)) Вообщем беда...

[_ТошА_]

По частям. Сведётся сам к себе. Не мучайтесь

У Вас что-то не то вроде вышло. Приведите промежуточное решение (там должен быть двойной аргумент у гип. синуса).
Перейдите снова к переменной `t`

[Fedia62]

Так, сейчас через некоторое время приведу промежуточное решение, если я где-то ошибся и там всё легко получается то всё нормально, если нет - по частям буду мучать)

[_ТошА_]

По частям наоборот без мучений, моментально

[Fedia62]

Хорошо, интегрирую по частям:
I=int(1+t^2)^(1/2)dt=(1+t^2)^(1/2)*t-int(td(1+t^2)^(1/2)) Дальше так я думаю d(1+t^2)^(1/2)=t*(1+t^2)^(-1/2)dt Тогда получаем
I=(1+t^2)^(1/2)*t-int(t^2(1+t^2)^(-1/2)dt) Как дальше к исходному свести?)

[_ТошА_]

du напишите, неверно у вас

[Fedia62]

du=d(1+t^2)^(1/2)=t*(1+t^2)^(-1/2)

[_ТошА_]

тогда ваш интеграл получается:
`I = (1+t^2)^(1/2)*t - int t^2/(1 + t^2)^(1/2)dt = (1+t^2)^(1/2)*t - I + int 1/(1 + t^2)^(1/2)dt`
`2I = (1+t^2)^(1/2)*t + int 1/(1 + t^2)^(1/2)dt`
I выразите, интеграл возьмите

[Fedia62]

Всё, понял) Действительно, по частям оказывается полегче, хотя выржаение очень схоже с тем, что я получил до этого) Так что ещё раз всем спасибо)

[Fedia62]

.

Новая задача — новая запись.

[Fedia62]

Ну вот сообщение полностью не удалить =(

По поводу первоначальной задачи записи (через гиперболические функции) (т.к. она уже решена, думаю, можно написать):
после замены `t = sh x` выходит:
`int ch^2 x dx=int ((ch(2x)+1)/2)dx=1/4*int ch(2x) d(2x)+1/2int dx=1/4*sh(2x)+x/2+С`
Из замены получаем `x=arsh t`, тогда интеграл равен:
`1/4*sh(2 arsh t)+(arsh t)/2+C=1/2*ch(arsh t)sh(arsh t)+(arsh t)/2+C=1/2*sqrt(1+t^2)t+(arsh t)/2+C`
Зная неопределенный интеграл, находим определенный:
`int_0^(x^2)1/(1+t^2)dt=(1/2*sqrt(1+t^2)t+(arsh t)/2) |_0^(x^2)=1/2*x^2*sqrt(1+x^4)+(arsh (x^2))/2`
Если использовать равенство `arsh r = ln(r+sqrt(r^2+1))`, получаем:
`1/2*x^2*sqrt(1+x^4)+1/2*ln(x^2+sqrt(x^4+1))`

P.S.Ошибки, естественно, не исключены.