Сходимость ряда

[oxelo]

$\sum\limits_{n = 1} {\frac{{\left| {\sin n} \right|}}{n}} $

$\frac{{\left| {\sin n} \right|}}{n} <= \frac{1}{n}$

Нужно решить и доказать. Проходили мы признаки сравнения, Даламбера, Коши т.д. там что-то надо придумать с гармоническим рядом, как я поняла.

Каким признаком лучше воспользоваться? И зачем нужно это ограничение: $\frac{{\left| {\sin n} \right|}}{n} <= \frac{1}{n}$ ?

@темы: Ряды

Comments

[Alidoro]

Простых способов не видно. Но можно попробовать найти методами дифф. исчисления минимальное значение функции `|sin x|+|sin(x+1)|` Тогда, заменяя пары рядом стоящих членов вашего ряда их суммой можно показать что его частные суммы больше частных сумм гармонического ряда, умноженных на некоторую константу. Тем самым вы докажете расходимость вашего ряда.

[_ТошА_]

А по Коши нельзя опровергнуть?

[Alidoro]

А по Коши нельзя опровергнуть?

По-моему это труднее. То есть надо взять `N` и оценить сколько членов ряда `a_n` начиная с `n=N` надо взять, чтобы их сумма оказалась больше чем, например, `1/2`. Довольно тонкие оценки нужны, требуют интуитивного понимания ситуации и хорошей техники.

[_ТошА_]

Там же по сути дела, надо подобрать такие p, q, что `|sum_p^q a_n| = a in R`, p(n), q(n)
В голове вроде силит что-то, кефирчика попью, додумать попробую.
Или ошибаюсь?

[Alidoro]

Ну самый первый способ предлагает что-то похожее `|sum_p^{p+1} a_n| > a/{2n}` Я лишь предложил найти `a`, что доступно первокурснику.
Эта оценка проще, а для доказательства расходимости часть работы возьмет на себя гармонический ряд, про который oxelo знает.

[_ТошА_]

Alidoro Просто я привык как-то по Коши, мне нравилось в своё время, когда проходили это.
Ибо если смотреть вот такое: `|sum_(pi/2 + pi*n)^(pi/2 + 2pi*n) (|sin(n)|)/n |= |1/(pi/2 + pi*n) + 1/(pi/2 + pi(n+1)) + .. + 1/(pi/2 + 2pi*n)| > n/(pi/2 + 2pi*n)`

а тут уж просто указать конкретный эпсилон

[oxelo]

2011-03-07 в 23:17
Alidoro

А как найти а - я не поняла
Про гармонический ряд я знаю, что если ряд сходится, то его общий член $u_n $ стремится к нулю, то есть ${\lim }\limits_{n \to \infty } u_n = 0$

[Heor]

oxelo
Это необходимое условие, но оно не является достаточным. Например, гармонический ряд - расходится.

[Alidoro]

А как найти а - я не поянла

Это в самом первом моем сообщении. Находить минимум, объединять члены ряда попарно и подставлять найденный минимум.

[_ТошА_]

oxelo впрочем, я уже расписал решение выше

[oxelo]

Ну я вот первое и не поняла
То есть, вот так: Сначала я записываю |sin(x)+sin(x+1)|, далее |sin(x+1)+sin(x+2)| и т.д.?

[Alidoro]

Нет. Вы должны оценить снизу частные суммы вашего ряда с четным числом слагаемых частными суммами расходящегося ряда производного от гармонического ряда. Тем самым вы докажете, что ваш ряд расходится. Для этого объединяете члены вашего ряда попарно, и для каждой пары доказываете `|sin (2n-1)|/{2n-1}+|sin 2n|/{2n}>a/{2n}`, где a — это тот минимум, который вы найдете.

[oxelo]

_ТошА_

почему все таки 1/n ограничение стоит? Что такое p и q, пределы? что такое a n, и откуда взялось П/2+2П*n

[_ТошА_]

oxelo так вам надо начинать с простейших вещей: критерия Коши сходимости ряда, скажем.
Он звучит так:
Ряд `sum_(n) a_n` сходится т.т.т.
`AA epsilon > 0` существует `N = N(epsilon):` `AA n < p < q` `|sum_(p+1)^(oo) a_n - sum_(q + 1)^(oo) a_n| = |sum_(p+1)^q a_n| < epsilon`

Чтобы доказать расходимость строится отрицание. Ряд расходится т.т.т:
существует `epsilon > 0 :` `AA n = n(epsilon)` существует `n < p < q` : `|sum_(p+1)^q a_n| >= epsilon`

Ну так я и показал. Подобрал такие p, q, что для любого n можно указать конкретный эпсилон. Правда я его не указал, но делается это за секунду

[_ТошА_]

Правда такое решение требует некоего мышления, понимания, что хотим получить. Но в этом и есть вся прелесть, думается мне