четверг, 03 марта 2011
14:00

Диагностическая работа № 3 МИОО по математике от 03 марта 2011 года

все записи пользователя в сообществе Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
03.03.2011 в 09:15 Пишет  eek.friends:

Диагностическая работа № 3 МИОО по математике от 03 марта 2011 года
Условия с сайта Ларина А.А.
Восток (варианты 5-8)
Запад (варианты 1-4)

Условия заданий части С (в комментариях решения некоторых из них):
С1 (варианты 1; 3;5;7)
Решите уравнение
`((sinx-1)(2cosx+1))/sqrt(tgx)=0`
(в условии не проставлен аргумент у косинуса, взят по умолчанию `x`)
С1( варианты 2; 4; 6; 8)
Решите уравнение
`(cosx-1)(tgx+sqrt(3))sqrt(cosx)=0`

C2(варианты 1; 3; 5; 7)
Длина ребра правильного тетраэдра `ABCD`равна 1. Найдите угол между прямыми `DM` и `CL`, где `M` - середина ребра `BC`, `L`- середина ребра `AB`.
C2 (варианты 2; 4; 6; 8)
Длина ребра куба `ABCDA_1B_1C_1D_1` равна 1. Найдите расстояние от вершины В до плоскости `ACD_1`

C3 (варианты 1; 3; 5; 7)
Решите неравенство:
`(log_2(2x)*log_(0,5x)2)/(log_(0,125x)8) <= 1`
C3 (варианты 2; 4; 6; 8)
Решите неравенство:
`(log_2(8x)*log_(0,125x)2)/(log_(0,5x)16) <= 1/4`

C4(варианты 1; 3; 5; 7)
Площадь трапеции ABCD равна 90, а одно из оснований трапеции вдвое больше другого. Диагонали пересекаются в точке О; отрезки, соединяющие середину Р основания AD с вершинами В и С, пересекаются с диагоналями трапеции в точках М и N соответственно. Найдите площадь четырехугольника OMPN.
C4(варианты 2; 4; 6; 8)
Площадь трапеции ABCD равна 72, а одно из оснований трапеции вдвое больше другого. Диагонали пересекаются в точке О; отрезки, соединяющие середину Р основания AD с вершинами В и С, пересекаются с диагоналями трапеции в точках М и N соответственно. Найдите площадь четырехугольника OMPN.

C5 (варианты 1; 3; 5; 7)
Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых система неравенств
`{(|x+2y+1|<=11),((x-a)^2+(y-2a)^2=2+a):}
имеет единственное решение
C5 (варианты 2; 4; 6; 8)
Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых система неравенств
`{(|3x-y+2|<=12),((x-3a)^2+(y+a)^2=3a+4):}
имеет единственное решение

С6 (варианты 1; 3; 5; 7)
Решите в натуральных числах уравнение
`n^(k+1)-n! =5(30k+11)`.
(Для натурального `n` символом `n!` обозначается произведение `1*2*3*...*n`).

С6 (варианты 2; 4; 6; 8)
Решите в натуральных числах уравнение
`n^(k+1)-n! =7(420k+1)`.
(Для натурального `n` символом `n!` обозначается произведение `1*2*3*...*n`).

URL записи

Официальные критерии от  aalleexx

Видеоразборы заданий от Ольги Себедаш

Ответы части В от  aalleexx

@темы: Тренировочные/диагностические работы, ЕГЭ

URL
Комментарии
03.03.2011 в 14:03

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
С1 (1; 3;5;7)
Решите уравнение
`((sinx-1)(2cosx+1))/sqrt(tgx)=0`
Решение
Данное уравнение равносильно следующей системе
`{([(sinx=1),(cosx=-1/2):}),(cosx!=0),(tgx >0):}
Отмечая область определения и решения уравнений на тригонометрическом круге, получаем, что решением данной системы является серия `x=4pi/3+2*pi*n`, `n in Z`

Те, кто неуверенно работают с тригонометрическим кругом, могут решить уравнения системы:
`sinx =1` дает серию решений `x=pi/2+2*pi*k` , `k in Z`, не входящую в область определения уравнения (так как при этом косинус обращается в ноль)
`cosx=-1/2` дает две серии решений `x=(2*pi)/3+2*pi*k` и `x=(4*pi)/3+2*pi*k` , `k in Z`, которые изображаются точками соответственно второй и третьей четверти. Учитывая, что `tgx` положителен в первой и третьей четверти, получаем в ответе единственную серию `x=(4*pi)/3+2*pi*k` , `k in Z`
Ответ: `x=(4*pi)/3+2*pi*k` , `k in Z` (ответ может записываться и в другой форме `x=-(2*pi)/3+2*pi*k` , `k in Z`)
URL
03.03.2011 в 14:05

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
C2(1; 3; 5; 7)
Длина ребра правильного тетраэдра `ABCD`равна 1. Найдите угол между прямыми `DM` и `CL`, где `M` - середина ребра `BC`, `L`- середина ребра `AB`.
Решение

Под углом между скрещивающимися прямыми понимается угол между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку. Проведем через точку `M` в плоскости основания прямую `MK`, параллельную `CL`(`K` - точка ее пересечения со стороной `AB`. Тогда искомый угол - это `/_DMK`. Найдем его с помощью теоремы косинусов из треугольника `DMK`
Так все ребра тетраэдра равны (вспоминаем определение правильного тетраэдра), то треугольники `DBC`,`ABC`и `ADB` правильные и `CL=DM=DL=sqrt(3)/2`.
`MK` - средняя линия в треугольнике `BCL`: `MK=sqrt(3)/4`
`DK` находим из прямоугольного треугольника `DLK`: `DK=sqrt((1/4)^2+(sqrt(3)/2)^2)=sqrt(13)/4
По теореме косинусов `DK^2=MK^2+DM^2-2*MK*DMcos(/_DMK)`
Откуда `cos(/_DMK)=1/6`
`/_DMK=arc cos(1/6)`
Ответ: `arc cos(1/6)`
URL
03.03.2011 в 14:08

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
C2(2; 4; 6; 8)
Длина ребра куба `ABCDA_1B_1C_1D_1` равна 1. Найдите расстояние от вершины В до плоскости `ACD_1`
1 способ
Использование координатного метода.


Пусть начало системы координат совпадает с точкой `B`, а оси ОХ, OY, OZ направлены как на рисунке.
Тогда `A(1;0;0)`, `D_1(1;1;1)`, `C(0;1;0)`.
Уравнение плоскости `ACD_1`: `x+y-z-1=0`
По формуле расстояния от точки до плоскости
`p(B,ACD_1)=|-1|/sqrt(3)=1/sqrt(3)`
2 способ

Построим в плоскости `BD D_1B_1` перпендикуляр `BH` к линии `D_1O` пересечения плоcкостей `BD D_1B_1` и `AD_1C`.
Так как прямая `AC` является перпендикуляром к плоскости `BD D_1B_1`, то `AC`перпендикулярна `BH`. Следовательно, отрезок `BH` перпендикулярен двум пересекающимся прямым `AC` и `D_1O` плоскости `ACD_1`, а тогда `BH` перпендикулярен и самой плоскости. Длина `BH` и есть искомое расстояние от вершины `B` до плоскости `ACD_1`
Из прямоугольного треугольника `BHD_1` `BH=BD_1*sin /_BD_1H `
`BD_1=sqrt(3)`
Угол найдем по теореме косинусов из треугольника `BD_1O`
`BO=1/sqrt(2)`, `D_1O=sqrt(3/2)`
Так как `BO^2 =BD_1^2+D_1O^2-2*BD_1*D_1O*cos/_BD_1O`, то `cos /_BD_0=(2sqrt(2))/3`, откуда `sin/_BD_O=1/3`
Значит, `BH=sqrt(3)/3=1/sqrt(3)`
Ответ: `1/sqrt(3)`
URL
03.03.2011 в 14:09

VEk
Белый и пушистый (иногда)
С5 (вар.1). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств `{(|x+2y+1| le 11),((x-a)^2+(y-2a)^2=2+a):}` имеет единственное решение.
Ответ: a=3 и a=-2
Указание. Очевидно, что a≥-2 (ограничение на параметр). Геометрическая интерпретация первого неравенства – полоса, заключенная между прямыми x+2y-10=0 и x+2y+12=0. Геометрическая интерпретация второго уравнения системы – окружность с центром в точке (a;2a) радиуса `sqrt(2+a)`. Для того, чтобы система имела единственное решение ( при `a > -2`) необходимо и достаточно, чтобы окружность располагалась вне указанной полосы, касаясь при этом ее границы. Как известно, расстояние от точки `M(x_M;y_M )` до прямой `ax+by+c=0` равно `rho(M,l)=|ax_M+by_M+c|/sqrt(a^2+b^2 )`. Из условия касания имеем совокупность: `[(|a+4a-10|/sqrt(5)=sqrt(2+a)),(|a+4a+12|/sqrt5=sqrt(2+a)):}` (указанная совокупность не проверяет положение окружности относительно полосы) или `[(|5a-10|=sqrt(10+5a)),(|5a+12|=sqrt(10+5a)):}`. Из первого уравнения получаем `a in{1.2; 3}`, второе уравнение решений не имеет. Легко проверить, что точка с координатами (1.2;2.4) (центр окружности) лежит внутри указанной полосы, а точка с координатами (3;6) вне полосы.
Кроме того, если окружность вырождается в точку, и точка принадлежит полосе, то это также будет решением ( `a=-2`).
C5 (вар.2) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств `{(|3x-y+2| le 12),((x-3a)^2+(y+a)^2=3a+4):}` имеет единственное решение.
Ответ: a=2 и `a=-4/3`. Решение аналогично
URL
03.03.2011 в 14:09

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
C3(1; 3; 5; 7)
Решите неравенство:
`(log_2(2x)*log_(0,5x)2)/(log_(0,125x)8) <= 1`
Решение
ОДЗ:
`{(x>0),(x!=2),(x!=8):}`
Переходя к основанию 2, получаем
`(log_2(2x)*(1/3)log_2(0,125x))/(log_2(0,5x)) <= 1`
или
`((1+log_2(x))*(-3+log_2(x)))/(3(-1+log_2(x))) <= 1`
Введем замену `log_2(x)=t`
`((1+t)(-3+t))/(-1+t)-3 <=0`
`(t^2-5t)/(t-1) <=0`
`(t(t-5))/(t-1) <=0`
Решая методом интервалов получаем, что `t <=0` или `1 <t <=5`
Откуда `log_2(x)<=0` или `1 < log_2(x) <=5`
А значит, `0 < x <=1` или `2 < x <=32`
С учетом области определения `x in (0;1]uu(2;8)uu(8;32]`
Ответ: `x in (0;1]uu(2;8)uu(8;32]`
URL
03.03.2011 в 14:14

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
C4(1; 3; 5; 7)
Площадь трапеции ABCD равна 90, а одно из оснований трапеции вдвое больше другого. Диагонали пересекаются в точке О; отрезки, соединяющие середину Р основания AD с вершинами В и С, пересекаются с диагоналями трапеции в точках М и N соответственно. Найдите площадь четырехугольника OMPN.
Решение
Случай 1

Пусть `AD`- большее основание.
Обозначим площадь треугольника ВОС через `S`.
Так как треугольники `BOC` и `AOD` подобны и `BC:AD=1:2`, то `S(BOC):S(AOD)=1:4`, а значит, площадь треугольника `AOD` равна `4S`.
Так треугольники `BOC` и `ABO` имеют равные высоты, опущенные из вершины `B`, а `CO:AO=1:2`, то
`S(AOB):S(BOC)=2:1` и потому площадь треугольника `ABO` равна 2S. Аналогично и с треугольником `COD`.
Тогда площадь трапеции равна `S+2S+2S+4S`, откуда `9S=90`, `S=10`
Площадь треугольника `AOD` равна 40.
Найдем площадь четырехугольника `OMPN`, вычитая из площади треугольника `AOD` сумму площадей треугольников `AMP` и `PND`
Заметим, что площади треугольников `ABP`, `BPC` и `PCD` равны и равны 30. `ABCP`и `BCDP`- параллелограммы, площади которых равны 60. Тогда площади каждого из треугольников `AMP` и `PND` равны 15, а площадь искомого четырехугольника 40-15-15=10
Ответ для первого случая 10.
Случай 2

`AD`- меньшее основание
Заметим, что все рассуждения касательно площадей треугольников, на которые диагонали разбивают трапецию, остаются в силе, в частности, `S(AOD)=10`.
Так как `AP=PD`, ` BC=4AP`, а треугольники `BAP`, `BPC` и `DCP` имеют равные высоты, проведенные к основаниям `AP`,`PD`, `BC`, то `S(BAP)=S(PCD)`, а `S(BPC)=4S(ABP)`. Отсюда следует, что площадь треугольника `ABP` равна 15.
Так как треугольники `AMP`и `BMC` подобны и `AP:BC=1:4`, то `PM:MB=1:4`, а значит, `S(ABM):S(AMP)=4:1`, откуда следует, что `S(AMP)=3`
Аналогично `S(PND)=3`
`S(OMPN)=S(AOD)-S(AMP)-S(PND)=10-3-3=4`
Ответ для второго случая: 4
Ответ: 10; 4
URL
03.03.2011 в 14:17

VEk
Белый и пушистый (иногда)
C6. (вар.1) Ответ: n=5, k=3.
Указание. При n=1 равенство невозможно. `5*(30k+11)` всегда нечетно, а n! при `n >=2` четно, поэтому n нечетно.
Пусть n=3, тогда левая часть равенства делится на 3, а правая нет, поэтому `n >= 5`. При n= 5 имеем: `5^(k+1)-120=150k+55` или `5^(k-1)=6k+7`. При k=3 равенство выполняется, а так как показательная функция растет быстрее линейной, то при k > 3 решений нет.
Пусть `n >= 7` , тогда n! делится на 5, следовательно n делится на 5 и не делится на 3. Значит для n есть возможности 25, 35, 55, 65, ...
Но тогда n! содержит не менее 6 нулей и в равенстве `n!+55 = n^(k+1)-150k` левая часть оканчивается на 55, а правая либо на 25, либо на 75. Значит, других решений нет.

С6 ( вар2) Ответ: n=7, k=4
URL
03.03.2011 в 14:48

mpl
aalleexx

Спасибо!
URL
03.03.2011 в 14:55

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
aalleexx Гость
Спасибо большое!! :white:
Добавляю в основную запись
URL
03.03.2011 в 15:39

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Rus-Kira Там минус плохо виден. Ответ верный
URL
03.03.2011 в 18:11

Rus-Kira
Да да, я не сразу заметил - извиняюсь)
URL
09.03.2011 в 17:00

Гость
Спасибо очень помогли! А можно товеты к следущей работе узнать?
URL
09.03.2011 в 17:13

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
Скажите, пожалуйста, а в этот раз МИОО выпустил только 8 вариантов или ещё появятся?
URL
09.03.2011 в 17:15

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Новый гость Диагностическая работа проводилась на 8 вариантов (для всей страны).

Гость А когда будет следующая работа? Доставайте текст, присылайте нам, желательно дня за 3 до работы, чтобы мы успели все прорешать.
URL
09.03.2011 в 17:37

aalleexx
А можно товеты к следущей работе узнать?
Да, да и мне насыпьте товетов килограммчик - лучше на 06.06.11
URL
09.03.2011 в 18:03

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
Диагностическая работа проводилась на 8 вариантов (для всей страны). Значит, они решили не делать 16 вариантов.
URL
09.03.2011 в 20:16

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
Объясните, пожалуйста, почему площади каждого из треугольников AMP и PND равны 15 (10-я строчка после первого изображения). Всё пересмотрел, но ниоткуда не следует, что площадь АМР будет половиной площади АВР. И для чего нужно было считать площадь параллелограммов?
URL
09.03.2011 в 20:25

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Новый гость
А вспомните-ка свойства параллелограммов
И вообще, отвлекитесь от этой "сложной" задачи и докажите , как можно больше св-в для параллелограмма, в т. ч. и связанных с площадями
URL
09.03.2011 в 20:33

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
А, точно. АС и ВР - диагонали параллелограмма, делят его на четыре равновеликих треугольника, поэтому S(AMP) будет четвертью площади параллелограмма, т.е. 15.
Всё-таки эта задача - сложная без кавычек. Догадаться, в какой последовательности считать площади, очень трудно.
URL
09.03.2011 в 20:36

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
Заметим, что все рассуждения касательно площадей треугольников, на которые диагонали разбивают трапецию, остаются в силе, в частности, S(AOD)=10.
А на ЕГЭ так можно писать? Или лучше не рисковать и записать всё подробно?
URL
09.03.2011 в 20:38

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Если будет время, запишите.
Но выше есть ссылка на критерии от составителей, посмотрите там
URL
09.03.2011 в 20:49

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
Robot Почему в решении С1 написано: Отмечая область определения и решения уравнений на тригонометрическом круге. Всегда пишу: на тригонометрической окружности. Это одно и то же или разные вещи. Помню, в рекомендациях для экспертов было какое-то замечание по этому поводу.
URL
09.03.2011 в 20:52

aalleexx
Почему в решении С1 написано: Отмечая область определения и решения уравнений на тригонометрическом круге. Всегда пишу: на тригонометрической окружности.
Вот это круто!
URL
09.03.2011 в 20:54

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Новый гость
Поищите это замечание, мне стало интересно
URL
09.03.2011 в 20:54

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
Вот это круто! Что именно? Они как-то отличаются или это синонимы? Не первый раз уже встречаю этот термин и так и не разобрался. Где почитать об этом?
URL
09.03.2011 в 20:57

aalleexx
Круто, что я сам всю жизнь говорил - на круге, а по сути-то правильно на окружности. И еще круто, что есть новая тема для обсуждения. Это посильнее отрицательной четности.
URL
09.03.2011 в 20:58

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Новый гость
Поверьте, эксперты не будут обращать внимание — про круг или про окружность вы написали
Так что вы лучше не про оформление думайте, а про математическую часть
И я не хотела бы, чтобы этот топик разросся на сотни страниц.
Соберите все эти вопросы свои в один топик. Назовите его как-нибудь: Вопросы по оформлению
А здесь давайте о математике
Почитать о круге и окружности можно в учебнике
URL
09.03.2011 в 20:58

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
aalleexx И еще круто, что есть новая тема для обсуждения. Это посильнее отрицательной четности.
:lol:
URL