Олимпиада по Математике в МЭСИ ( ОЧНЫЙ ТУР) для Десятиклассников

[FirstAID]

Сразу скажу , что набирал текст по памяти.
1) Решите уравнение ` (sqrt(6)-sqrt(3))*x^3-3*x^2+18*(sqrt(2)-1) =0 `
2 При каких значениях параметра а уравнение имеет 2 различных рациональных решения ?
` ( 4-sqrt(15) )^(x) - (2a^2+3a+1)(4+sqrt(15))^x+a=0 `
3 Доказать , что среди 120 чисел найдутся 18 , разность двух любых которых делится на 7
4 Дан отрезок длинной 1 см . С помощью циркуля и линейки построить отрезок длинной ` sqrt (2 + sqrt(3) )`
5 Доказать , что ` n^5-5^4+5n^3-5n^2+n ` делится на 120
6 Дан произвольный треугольник АВС АВ=4 ; АС=7.АК-биссектриса . На биссектрисе взята точка М , такая , что ` (AM)/(MK)=2/3 `. Площадь треугольника ВМК=12 .Найти площадь треугольника АВС .




1, 2 , - не знаю как решать
6 - решал , пользуясь формулой ` (2*b*c*cos(alpha/2)/(b+c))` . Синус угла получился >1 .

@темы: Олимпиадные задачи, ЕГЭ

Comments

[VEk]

2. Уравнение квадратное относительно `(4-sqrt(15))^x`. относительно рациональности корней надо немного подумать.
1. Домножьте уравнение на `(sqrt(6)+sqrt(3))`. В полученном уравнении один корень подбирается: `sqrt(6)`.

[VEk]

№6. Вы в условии ничего не напутали?

[FirstAID]

VEk нет

[FirstAID]

VEk у вас тоже синус больше одного ?

[VEk]

Нет, не в том дело.
Если у Вас дан прямоугольный треугольник с катетами 4 и 7, то его площадь равна 14. В то же время из условия следует, что площадь треугольника ABK равна 20. Но ABK - часть треугольника ABC. Что-то не стыкуется.

[FirstAID]

Там не прямоугольник , произвольный треугольник

[VEk]

№2. Может в условии было сказано 2 различных вещественных (действительных) корня, а не "рациональных"?

[VEk]

minasyanvaagn Про треугольник я понял, так и решал. Нестыковка в условии все равно есть. И есть избыточные данные, что не есть хорошо. Поэтому и спросил про условие.

[FirstAID]

НЕТ точно помню эту фразу 100% ( про параметр )

[VEk]

Все равно нестыковка, даже если треугольник произвольный. Его максимальная площадь все равно равна 14, а из данных следует, что часть площади равна 20. Нонсенс!
Может точка M принадлежит прямой (AK)?

[FirstAID]

VEk какая часть площади ?

[FirstAID]

VEk Может быть .

[VEk]

Площадь треугольника ABK равна 20, что больше максимально возможной площади треугольника ABC.

[FirstAID]

VEk А если М лежит на прямой АК , то нормально всё ?

[VEk]

minasyanvaagn Если точка M лежит на продолжении AK за точку A, то вариант проходит. Тогда ответ 11.

[_ТошА_]

3) через остатки попробовать.

[_ТошА_]

5) там `5n^4`?

[FirstAID]

_ТошА_ Точно не помню , но там получаести или` (n-3)(n-2)(n-1)n(n+1) ` или
` (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)`

[_ТошА_]

Ну понятно. неинтересно

[VEk]

Не совсем понятно условие 3 задачи. что значит разность 18 чисел?

[FirstAID]

VEk исправил

[VEk]

3. Классическая дирихлевка. Рассмотреть числа по модулю 7 ( 7 классов), в одном из классов есть 18 чисел ( т.к. 17*7 = 119 < 120). _ТошА_ об этом писал.

[FirstAID]

я что-то не понял как вы 18 получили ?

[VEk]

minasyanvaagn Решите все-таки задачу 6 в формулировке: "В произвольном треугольнике АВС известны длины сторон АВ=4, АС=7. На прямой, содержащей биссектрису AK взята точка М, такая, что AM:MK=2:3. Площадь треугольника ВМК=12. Найти площадь треугольника АВС." Она поучительна. Ответ Вам дан. Свое решение можете здесь опубликовать, проверим.

[VEk]

Вы знаете , как решаются классические дирихлевки?

[FirstAID]

VEk да . Но тут же получается 120/8 одинаковых остаток . А почему мы берём не 18 а 17 ?
VEk Задачу решу ( по геометрии)

[Robot]

minasyanvaagn Принцип Дирихле (классическая формулировка)
Если (n + 1) кроликов сидят в n ящиках, то найдётся ящик, в котором сидит, по крайней мере, два кролика
Однако в совсем чистом виде на олимпиадах бывает редко)

Вам и по делимости надо что-то почитать
Остатками при делении на 7 могут быть 0,1,2,3,4,5,6
И все числа разбиваются на 7 клеток классов (в одном числа, дающие в остатке 0, во втором -дающие 1 и т.д.)
И каждое число из имеющихся 120 будет попадать в какую-то клетку в какой-то класс
Даже если мы равномерно будем по клеткам числа рассаживать, то у нас получится 17*7=119 рассажено.
А чисел 120
То есть надо будет это оставшееся число подсадить в какую-то клетку
И там будет 18 чисел
Все они дают одинаковые остатки при делении на 7, разность любых двух будет делиться на 7

[FirstAID]

А как решить второе задание с параметром ?

[VEk]

Совет Вам был дан сразу ( первыйкомментарий0. НО все-таки скорее в условии неточность. Поскольку легко находится случай. когда уравнение иметт два решений. Но вот рациональность этих решений - явно нечто выходящее из рамок. И непонятно. как это доказывать. Поэтому очень хочется формулировку задания не по памяти.

[FirstAID]

точно помню , что там было (4-15)^x-(выражение , корнями кторого являются -1 и -1/2 ) *(4+15)^x+a=0
Скорее всего в выражении что- то не так , потому что припоминается цифра 5 в выражении . Но то , что рациональные , это 100 %